1.概率密度函数，密度函数，概率分布函数和累计分布函数
从数学上看，累计分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解，同时表示任意点的概率，各种概率密度函数的曲线的横坐标是x的值，纵坐标是该点被取到的概率。
例子：
a. 最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数，对于一个取值在区间 上的均匀分布函数
。也就是说，当x 不在区间
上的时候，函数值等于0，而在区间
上的时候，函数值等于
。这个函数并不是完全的连续函数，但是是可积函数。
b. 正态分布是重要的概率分布。随着参数 和
变化，概率分布也产生变化。它的概率密度函数如下，其中u和delta是正态分布两个参数，标准正态分布u=0，delta=1，
在概率论中，假设随机变量的分布符合正态分布，那么根据样本的值就可以得到两个参数的值，公式如下，这种算法是极大似然的思想（下面有介绍）。但是，也可以通过MAP进行计算，效果可以更好，也可以更坏。这里注意delta是标准差，表示的是随机变量摇摆的的幅度，简单来讲摇摆的幅度越小，说明模型越稳定。
2.先验概率和后验概率
本文假设大家都知道什么叫条件概率了（P(A|B)表示在B事件发生的情况下，A事件发生的概率）。
基于条件概率，看看全概率和贝叶斯推断：
求解P（B）的过程就是全概率公式。求解P（A|B）的过程就是贝叶斯公式。
先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现，指全概率公式中的所有信息（因）全部已知。
后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因"。这个里面的因的信息往往是未知的，需要求。
先验概率和后验概率:
教科书上的解释总是太绕了。其实举个例子大家就明白这两个东西了。
假设我们出门堵车的可能因素有两个（就是假设而已，别当真）：车辆太多和交通事故。
堵车的概率就是先验概率 。（根据经验，通过假设得到每天这个时候堵车的概率。事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.）
那么如果我们出门之前我们听到新闻说今天路上出了个交通事故，那么我们想算一下堵车的概率，这个就叫做条件概率 。也就是P(堵车|交通事故)。这是有因求果。
如果我们已经出了门，然后遇到了堵车，那么我们想算一下堵车时由交通事故引起的概率有多大，那这个就叫做后验概率 （也是条件概率，但是通常习惯这么说）。也就是P(交通事故|堵车)。这是有果求因。
下面的定义摘自百度百科：
先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.
后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".
另外：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。
----------
那么这两个概念有什么用呢？
最大似然估计,我们来看一个例子:
有一天，有个病人到医院看病。他告诉医生说自己头痛，然后医生根据自己的经验判断出他是感冒了，然后给他开了些药回去吃。有人肯定要问了，这个例子看起来跟我们要讲的最大似然估计有啥关系啊。关系可大了，事实上医生在不知不觉中就用到了最大似然估计（虽然有点牵强，但大家就勉为其难地接受吧^_^）。
大家知道，头痛的原因有很多种啊，比如感冒，中风，脑溢血...（脑残>_<这个我可不知道会不会头痛，还有那些看到难题就头痛的病人也不在讨论范围啊！）。那么医生凭什么说那个病人就是感冒呢？哦，医生说这是我从医多年的经验啊。咱们从概率的角度来研究一下这个问题。其实医生的大脑是这么工作的，他计算了一下:
P(感冒|头痛)（头痛由感冒引起的概率，下面类似）
P(中风|头痛)
P(脑溢血|头痛)
...
然后这个计算机大脑发现，P(感冒|头痛)是最大的，因此就认为呢，病人是感冒了。看到了吗？这个就叫最大似然估计（Maximum likelihood estimation，MLE） 。
咱们再思考一下，P(感冒|头痛)，P(中风|头痛)，P(脑溢血|头痛)是先验概率还是后验概率呢？
没错，就是后验概率。看到了吧，后验概率可以用来看病（只要你算得出来，呵呵）。事实上，后验概率起了这样一个用途，根据一些发生的事实（通常是坏的结果），分析结果产生的最可能的原因，然后才能有针对性地去解决问题。
那么先验概率有啥用呢？
我们来思考一下，P(脑残|头痛)是怎么算的。P(脑残|头痛)=头痛的人中脑残的人数/头痛的人数,头痛的样本倒好找，但是头痛的人中脑残的人数就不好调查了吧。如果你去问一个头痛的人你是不是脑残了，我估计那人会把你拍飞吧。接下来先验概率就派上用场了。
根据贝叶斯公式 : P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)
我们可以知道: P(脑残|头痛)=P(头痛|脑残)P(脑残)/P(头痛), 注意: (头痛|脑残)是先验概率，那么利用贝叶斯公式我们就可以利用先验概率把后验概率算出来了。
P(头痛|脑残)=脑残的人中头痛的人数/脑残的人数,这样只需要我们去问脑残的人你头痛吗，明显很安全了。（你说脑残的人数怎么来的啊，那我们就假设我们手上有一份传说中的脑残名单吧。那份同学不要吵，我没说你在名单上啊。再说调查脑残人数的话咱就没必要抓着一个头痛的人问了。起码问一个心情好的人是否脑残比问一个头痛的人安全得多）
我承认上面的例子很牵强，不过主要是为了表达一个意思。后验概率在实际中一般是很难直接计算出来的，相反先验概率就容易多了。因此一般会利用先验概率来计算后验概率。
3.极大似然估计（MLE）和最大后验概率（MAP），贝叶斯推断和最大熵
“参数估计是…通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值”—Wikipedia如是说。
这时我们会发现各种各样的参数估计方法，例如极大似然估计、最大后验估计、贝叶斯推断、最大熵估计，等等。虽然方法各不相同，但实际上背后的道理大体一样。想要了解它们之间的联系与区别，只要举一个最简单的例子就可以了：观测到一堆从某个高斯分布产生的数值，请估该计高斯分布的参数之一—均值。下图就是我们的实验数据：从一个0均值一维高斯分布中产生的1000个点，横坐标是数据的序号（1：1000），纵坐标是样本点的值。
1. 极大似然估计(MLE)
怎样的参数是最好的？使得观测数据出现的概率(即所谓likelihood，似然)最大的参数就是最好的。这个朴素的思想，就是极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)。对一个独立同分布(i.d.d)的样本集来说，总体的似然就是每个样本似然的乘积。例如本例中的似然(Likelihood)显然是：
在实际中，因为连乘计算起来比较麻烦，并且概率都很小，难免越乘越接近0最终引发数值bug，因此多对其取log， 得到log似然( log likelihood)：
log并不改变似然函数的凸性，因此可令其对u取极值(函数取极值的方法：导数为0的点，边界点。)，显然得到:
这就完成了对高斯分布均值的极大似然估计。值得一提的是，该例的log似然实在是太简单，所以这个极值可以直接求导得到；在更多的情况下，我们需要通过梯度下降法等最优化算法来求解。而绝大部分最优化的工具包都默认求函数的最小值，因此别忘了把你的log似然乘以-1变成负log似然(Negative Log Likelihood)，在你把它塞给一个最优化工具包之前。
2.最大后验估计(MAP)
MLE简单又客观，但是过分的客观有时会导致过拟合(Over fitting)。在样本点很少的情况下，MLE的效果并不好。为此，贝叶斯学派发明了最大后验估计(Maximum a Posterior)。先看一个最简单的概率图模型，借此来复习一下先验、似然、后验:
likelihood:对一个待估参数θ来说，它产生观测样本x的概率密度函数p(x|θ)叫做x的似然；
prior:θ本身是一个未观测到的变量，既然未观测到，也就是可以看成一个随机变量，假设其服从以α为参数的概率分布p(θ|α),叫做θ的先验；
posterior:在观测到x之后，我们对θ的认识得到了增强，将它的概率分布修正为p(θ|α,x),这个就叫做θ的后验；简单套用一下贝叶斯公式，可以得到后验分布：
即先验和似然的乘积。在本文的例子中，假设我们预先知道随机变量u本身服从一个高斯分布，其均值为u0，方差为σ0，那么观测到数据样本之后，u的后验分布为：
（公式这里u和后面的miu是同一个未知变量哦，MAP就是假设这个参数也是随机变量，并且符合正态分布，同时知道这个正态分布模型的均值和方差参数，这就是所谓的先验概率啦（即全部已知，回想全概率公式中的所有信息全部已知）。 所以这个先验概率直接影响结果，先验概率准确，那么模型比MLE好，不准确，结果就比MLE差啊。）
相当于给MLE的基础上进一步增加了信息，即先验知识（先验概率），增加了这个限制之后，同样适用MLE进行参数的求解，由于限制的准确，那么参数的求解也变得准确。
接下来就和MLE完全一样了：求一个u使得后验概率最大即可。方便起见，把u0固定成0，变化σ0做几组对比实验:
横轴是参数估计所用到的样本数，纵轴是估计值与真实值之间的误差。σ0取了0.01、0.1、1等三个值，作为方差，值越小先验的强度越大，就是指结果越准确。
可见：
1) MLE在数据较少时不准确
2) 先验强的MAP(图中红线、黄线)可以在少量数据时就达到较好的结果
3) 先验弱的MAP(图中蓝线)退化为MLE
还有一点在图中看不出来：假如我们预先知道的关于u的信息是不对的，即选择了一个强但偏离实际的先验(例如把u0设置成5, σ0设置成0.01)会怎样？其实那样的话结果甚至还不如MLE，这也是贝叶斯学派广为诟病的硬伤之一：凭什么去选择先验？大部分时候，我们选一个方便计算但不包含太多信息的共轭先验（什么是共轭先验？下回分解）。
3.贝叶斯推断(Bayesian Inference)
其实MAP不仅让频率学派的人不领情，甚至不能令苛刻的贝叶斯学派满意。
一来，MAP只取后验分布的峰值（众数，mode），而mode往往不具有很强的代表性（特别是在多峰的函数中）；
二来，MAP有一个独特的缺点，对参数形式敏感。如果我们要估计方差，就会发现，将方差作为参数得到的解，并不是将标准差作为参数得到的解的平方。而MLE可不会这样。
那么与其将后验分布的峰值拿来凑合，还不如将整个后验分布求出来，用一个分布来描述待估的参数。这就是Inference。
可是我们刚才在MAP中不是已经求出了整个后验分布么？是的，这是因为例子太简单了。在绝大部分超过三个节点的概率图模型中，都无法求出精确的后验分布，我们需要借助于各种各样的近似手段,于是才有了拉普拉斯近似、变分推断、Gibbs采样…等等等等，内容庞杂，下回再表。 为了近似得到后验分布。
4.最大熵估计
前例中的估计无不建立在这样一个基础上：已知分布的形式，求分布的参数。但是如果并不知道分布的形式，还能估计么？答案是不仅可以，并且靠谱。这就是鼎鼎有名的最大熵法。关于怎么样从最大的熵原理推导出最大熵估计，已经有足够多的介绍，在这里就不说了。
我们要说的是，其实最大熵估计也是一种MLE。
首先，我们不知道样本的分布形式，但是它作为一个概率分布，一定会满足
1)处处非负
2)和为1
于是，可以随意构造一个这样的函数：
其中
指数保证了非负，Z保证了归一化，因此f(x)可以构造成任意一个关于x的函数--茫茫大海中，总会有一个f(x)使得p(x)接近样本的真实分布。
现在我们来对这个分布做MLE，其log似然是:
这个log似然对λ来说是凸的，因此使用简单的优化算法(比如梯度下降)，就可以求得一个最优的λ,把λ代入p(x)的通项公式中，就可以得到分布的具体形式。特别的，当我们取f(x)=(x,x2)时，所得结果就是一个高斯分布。从另一方面来说，估计的结果严重依赖于选择怎样的f(x),这一点和MAP有些类似。
-这个结果和最大熵估计完全等价。也就是说，最大熵估计等同于对以下形式的模型的MLE:
而这种形式的模型，被统一称作“对数线性模型”(log linear model)。它是logistic回归、最大熵模型、以及以条件随机场(CRF)为代表的各种概率无向图的的基础。
最大似然估计：
最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。
最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计：
首先，假设为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。参数为θ的模型f产生上述采样可表示为
回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为，未知为θ，故似然定义为:
在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：
其中称为对数似然，而
称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然，即：
举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？
我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。这样，
P(Data | M)
= P(x1,x2,…,x100|M)
= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)
= p^70(1-p)^30.
那么p在取什么值的时候，P(Data |M)的值最大呢？将p^70(1-p)^30对p求导，并其等于零。
70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。
解方程可以得到p=0.7。
在边界点p=0,1，P(Data|M)=0。所以当p=0.7时，P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。
假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,…,xn），我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？
P(Data | M) = ？
根据公式
可得:
对μ求导可得 ,则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n
由上可知最大似然估计的一般求解过程：
（1） 写出似然函数；
（2） 对似然函数取对数，并整理；
（3） 求导数 ；
（4） 解似然方程
注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述
本文参考
http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood
http://www.shamoxia.com/html/y2010/1520.html
最大后验概率：
最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。
首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：
现在，假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示：
最后验分布的目标为：
注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。
举例来说：
假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比例分别是
樱桃 100%
樱桃 75% + 柠檬 25%
樱桃 50% + 柠檬 50%
樱桃 25% + 柠檬 75%
柠檬 100%
如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？
我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作
由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。
上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。
假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式
写出我们的MAP函数。
根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。
上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设为独立同分布的
，μ有一个先验的概率分布为
。那么我们想根据
来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：
此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求
的最小值。求导可得所求的μ为
以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。
在MAP中我们应注意的是：
MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。