概念介绍：

用于求解：AX+BY = gcd（A,B）的解

具体过程：

①预先的结论：对于AX+BY = 1，如果A,B互质，该方程X,Y一定有解。

（1）证明：

两边同时%A，得到  BY%A = 1%A

我们先看Y，Y的取值共有这么几类：n*Y+0，n*Y+1，n*Y+2......n*Y+A-1

现在证明此时BY的取值也有这么几类：我们不管n*Y，我们只管0*B，1*B，2*B...（A-1）*B

假设任取两个系数分别为m，n（0<m，n<A） 我们只需证明 （m*B-n*B）！=整数倍的a  即可证明任意两个BY的取值类都不相同。

即（m-n）*B ！= k*A

因为A,B互质，所以（m-n）必须是A的整数倍左右式才能相等，但是-A<（m-n）<A，证明成功。

因此BY%A可以取到0~A-1的任意余数，自然也可以取到1%A

（2）同时反证法得出不互质一定无解：

若A,B不互质，那么本式子可以化简为（A/gcd（A,B））*X + （B/gcd（A,B））*Y = 1/gcd（A,B）

很显然右式是个小数，左边永远不可能得到一个小数，故此时无整数解。

②从这个结论，我们引申出：

（1）任意A,B，AX+BY = gcd（A,B）一定有解

（2）AX+BY=K*gcd（A,B）一定有解（K为任意整数）

这就是为什么我们可以保证AX+BY=gcd（A,B）有解的原因。

③具体实现：

（1）递归原理

利用递归实现，我们可以从这两个式子来看

ax1+by1=gcd(a,b)--->当前递归所需要求的

bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)--->下一层递归需要求的

我们来找两个式子中的这两组解有什么关系：

首先，右式相等。

那么，ax1+by1 = bx2+(a%b)y2

我们把a%b写成a-[a/b]*b    （[a/b]表示整除，比如5/2=2而不是2.5）

再把右式整理一下，得到：

ax1+by1 = ay2 + b*（x2-[a/b]y2）

所以：

x1 = y2

y1 = x2-[a/b]*y2

我们可以利用下层的x2，y2直接求出当前的x1，y1

（2）递归终点

我们求gcd（a,b）什么时候结束，就是a = gcd，b=0时

此时gcd*x + 0*y = gcd

求得x = 1，y的话就等于0吧，反正都一样。

④代码：（ll 表示long long型，然后这里还有些细节自己思考一下）

void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if (b==0){x = 1;y = 0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y = y - (a/b)*x;
    }
}