3.牛顿迭代法求解方程的根

牛顿迭代法求解方程的根

引题:用牛顿迭代法求下列方程在值等于x附近的根:2x34x2+3x6=02x^3-4x^2+3x-6=02x3−4x2+3x−6=0
输入:输入x。
输出:方程在值等于x附近的根,占1行。
输入示例:1.5
输出实例:2

1. 牛顿迭代公式推导

设多项式f(x)f(x)f(x),设r是f(x)f(x)f(x)的根。
选取x0x_0x0​作为r的初始近似值。
过点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))做曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)的切线L。得L:y=f(x0)+f(x0)(xx0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)y=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)
则L与x轴交点的横坐标为 x1=x0f(x0)f(x0)x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}x1​=x0​−f′(x0​)f(x0​)​,那么称x1x_1x1​为r的一次近似值。
过点(x1,f(x1))(x_1,f(x_1))(x1​,f(x1​))做曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1f(x1)f(x1)x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}x2​=x1​−f′(x1​)f(x1​)​,称x2x_2x2​为r的二次近似值。
重复以上过程,得r的近似值序列。
其中,xn+1=xnf(xn)f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​称为r的n+1次近似值。
所以,xn+1=xnf(xn)f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​即为牛顿迭代公式

2. 牛顿迭代公式核心思想

核心思想:使用泰勒级数的线性项近似计算函数f(x)=0f(x)=0f(x)=0的根。把f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​的某领域内展开成泰勒级数,取其线性部分(即泰勒展开的前两项),并令其等于0。
泰勒级数展开式:
f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)(xx0)22!++f(n)(x0)(xx0)nn!+Rn(x)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+…+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)(x−x0​)2​+…+n!f(n)(x0​)(x−x0​)n​+Rn​(x)
线性部分:
f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)
令其为0,并以此作为非线性方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0的近似方程,即切线方程,得到公式:x=x0f(x)f(x)x=x_0-\frac{f(x)}{f'(x)}x=x0​−f′(x)f(x)​
将其推广,即可以得到牛顿迭代公式:xn+1=xnf(xn)f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x)//函数
{
    return 2*pow(x,3)-4*pow(x,2)+3*x-6;
}

double f1(double x)//导函数
{
    return 6*pow(x,2)-8*x+3;
}

int main()
{
	float x;
	cin >> x;
	do
	{
		x = x - f(x)/f1(x);
	}while( f(x)>1e-5 || f(x)<-(1e+5) );//控制精度,逼近处理

	cout << x << endl;
}
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