1.问题的提出

什么是数学空间？

1. 研究工作的对象和遵循的规则
2. 元素和机构(线性结构：加法和数乘； 拓扑结构：距离、范数、开集)
3. 是很多工程学甚至社会科学的语言
   在微积分里可以定义极限和连续，依赖于距离。
   $\begin{array}{l}{\forall \varepsilon&gt;0, \quad \exists \delta&gt;0} \\ {\left(\left|x-x_{0}\right|&lt;\delta\right) \Rightarrow\left(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|&lt;\varepsilon\right)}\end{array}$∀ε>0,∃δ>0(∣x−x0​∣<δ)⇒(∣f(x)−f(x0​)∣<ε)​

2 距离、范数（曲线距离）

2.1向量

$x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$x=(x1​,⋯,xn​)到$y=\left(y_{1}+\dots, y_{n}\right)$y=(y1​+…,yn​)的距离

情形1

$d_{1}(x, y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+···+(x_{n}-y_{n})^2}$d1​(x,y)=(x1​−y1​)2+⋅⋅⋅+(xn​−yn​)2​

这是我们学过的最常见的距离，也就是直线距离。

情形2

$d_{2}(x, y)==max\{\left|x_{1}-y_{1}\right|+\dots+\left|x_{n}-y_{n}\right|\}$d2​(x,y)==max{∣x1​−y1​∣+⋯+∣xn​−yn​∣}

这是一种折线距离。折线之中取最大的(现实比较常见，因为两点之间，可能直线无法跨越)。

情形3

$d_{3}(x, y)=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\dots+\left|x_{n}-y_{n}\right|$d3​(x,y)=∣x1​−y1​∣+⋯+∣xn​−yn​∣

2.2函数

函数$f(x)$f(x)到函数$g(x)$g(x)的距离

情形1

$d_{1}(f, g)=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))^{2} dx$d1​(f,g)=∫ab​(f(x)−g(x))2dx

也就是相互抵消之后，面积就是它的距离。

情形2

$\begin{aligned}d_{2}(f, g)=\max _{a&lt;x&lt;b}|f(x)-g(x)|\end{aligned}$d2​(f,g)=a<x<bmax​∣f(x)−g(x)∣​

也可以取二者的最大值，但是注意不可以取最小值。

情形3

$d_{3}(f, g)=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))^{k} d x$d3​(f,g)=∫ab​(f(x)−g(x))kdx

也可以是任意次方，但是需要注意，如果是奇数次方，里面应该打上绝对值。

那么我们究竟怎么定义距离呢？

前面我们看到了，距离有这么多种计算方式，但是究竟什么是距离呢？我们应该抓住：不是具体指它是什么，而是有什么属性的对象是它。
这么说可能有点绕，举个栗子：如果我问你什么是苹果，你可能告诉我，红红的，圆形，带有红晕，吃起来很甜，但是我如果问你什么是水果，你就没办法具体描述了，因为苹果是红的，橘子是黄的，西瓜是绿的，有的甜，有的酸，有的是圆的，但是有的水果是方的，我们只能通过描述可以吃、水分较多的植物果实等等属性来进行定义。