文章目录

• 大致原理
• 例1
• 解
• 例2
• 解

综合除法可以解决多项式对于$(x-a)$(x−a)展开（泰勒级数）
或者只是单纯的求多项式除以$(x-a)$(x−a)的商和余式

大致原理

对于$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$f(x)=an​xn+an−1​xn−1+...+a1​x+a0​除以$(x-a)$(x−a)后有$f(x)=(x-a)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}...+b_0)+a_0$f(x)=(x−a)(bn−1​xn−1+bn−2​xn−2...+b0​)+a0​

• 由上得：$a_n=b_{n-1},a_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1}...$an​=bn−1​,an−1​=bn−2​−abn−1​...
• 即$b_{n-2}=a_{n-1}+ab_{n-1},...$bn−2​=an−1​+abn−1​,...
• 

例1

• $f(x)=2x^5-5x^3-8x$f(x)=2x5−5x3−8x
• $g(x)=x+3$g(x)=x+3
• 则f(x)除以g(x)的商和余式分别是什么？

解

所以可以写成$f(x)=(x+3)(2x^4-6x^3+13x^2-39x+109)-327$f(x)=(x+3)(2x4−6x3+13x2−39x+109)−327

例2

• $f(x)=x^4-2x^2+3,x_0=-2$f(x)=x4−2x2+3,x0​=−2
• 将$f(x)$f(x)表示成$x-x_0$x−x0​的方幂和的形式

解

• 从最后的$1\to-8\to22\to-24\to11$1→−8→22→−24→11
• $f(x)=(x+2)^4-8(x+2)^3+22(x+2)^2-24(x+2)+11$f(x)=(x+2)4−8(x+2)3+22(x+2)2−24(x+2)+11
• 注意哦！a=-2是贯穿始终的，不要因为加了个杠就搞错了，杠后面是系数！