题目:已知$a,b,c>0$,求证:$\frac{a^2}{1+2a^2b}+\frac{b^2}{1+2b^2c}+\frac{c^2}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}.$
证明:原不等式等价于
$\frac{a^2(1+2a^2b)-2a^4b}{1+2a^2b}+\frac{b^2(1+2b^2c)-2b^4c}{1+2b^2c}+\frac{c^2(1+2c^2a)-2c^4a}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow \frac{a^4b}{1+2a^2b}+\frac{b^4c}{1+2b^2c}+\frac{c^4a}{1+2c^2a}\geq \frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow \frac{a^4}{\frac{1}{b}+2a^2}+\frac{b^4}{\frac{1}{c}+2b^2}+\frac{c^4}{\frac{1}{a}+2c^2}\geq \frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{1+2abc}.$                                (1)
由柯西不等式可得
$\frac{a^4}{\frac{1}{b}+2a^2}+\frac{b^4}{\frac{1}{c}+2b^2}+\frac{c^4}{\frac{1}{a}+2c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+2(a^2+b^2+c^2)}.$                     (2)
由不等式(2)知要证不等式(1)只要证
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{1+2abc}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0.$                                (3)
不等式(3)显然成立,故不等式(1)成立,从而原不等式获证.