#2003. 「SDOI2017」新生舞会
题目描述
学校组织了一次新生舞会，Cathy 作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。
有 n nn 个男生和 n nn 个女生参加舞会，一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。
Cathy 收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前是否认识，计算得出 ai,j a_{i, j}ai,j，表示第 i ii 个男生和第 j jj 个女生一起跳舞时他们喜悦程度。
Cathy 还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 bi,j b_{i, j}bi,j 表示第 i ii 个男生和第 j jj 个女生一起跳舞时的不协调裎度。
当然，还需要考虑很多其他间题。
Cathy 想先用一个程序通过 ai,j a_{i, j}ai,j 和 bi,j b_{i, j}bi,j 求出一种方案，再手动对方案进行微调。
Cathy 找到你，希望你帮她写那个程序。
一个方案中有 n nn 对舞伴，假设每对舞伴的喜悦程度分别是 a1′,a2′,…,an′ a'_1, a'_2, \ldots, a'_na1′,a2′,…,an′，假设每对舞伴不协调程度分别是 b1′,b2′,…,bn′ b'_1, b'_2, \ldots, b'_nb1′,b2′,…,bn′。令
C=a1′+a2′+⋯+an′b1′+b2′+⋯+bn′ C = \frac{a'_1 + a'_2 + \cdots + a'_n}{b'_1 + b'_2 + \cdots + b'_n}C=b1′+b2′+⋯+bn′a1′+a2′+⋯+an′
Cathy 希望 C 值最大。
输入格式
第一行一个整数 n nn。
接下来 n nn 行，每行 n nn 个正整数，第 i ii 行第 j jj 个数表示 ai,j a_{i, j}ai,j。
接下来 n nn 行，每行 n nn 个正整数，第 i ii 行第 j jj 个数表示 bi,j b_{i, j}bi,j。
输出格式
一行一个数，表示 C CC 的最大值。四舍五入保留六位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等。
样例
样例输入
3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9样例输出
5.357143数据范围与提示对于 10% 10\%10% 的数据，1≤n≤5 1 \leq n \leq 51≤n≤5；
对于 40% 40\%40% 的数据，1≤n≤18 1 \leq n \leq 181≤n≤18；
另外存在 20% 20\%20% 的数据，bi,j=1 b_{i, j} = 1bi,j=1；
对于 100% 100\%100% 的数据，1≤n≤100,1≤ai,j≤104,1≤bi,j≤104 1 \leq n \leq 100, 1 \leq a_{i, j} \leq 10 ^ 4,1 \leq b_{i, j} \leq 10 ^ 41≤n≤100,1≤ai,j≤104,1≤bi,j≤104。
传送一篇来自苣苣的博客：01分数规划总结
感觉01分数规划就是先二分答案，然后再求最值。
题目链接：https://loj.ac/problem/2003
题意：选出n对舞伴，使得价值和/代价和最大。
思路：基础01分数规划+最大权匹配（可以使用最小费用流求解，先对费用取负数，最后答案再取负数）
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn=,maxm=1e5+,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+;
const ll INF=1e18+;
const double eps=1e-;
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
struct edge
{
int from,to;
int c;
int a,b;
};
vector<edge>es;
vector<int>G[maxn];
double dist[maxn];
int pre[maxn];
void addedge(int u,int v,int c,int a,int b)
{
es.push_back((edge)
{
u,v,c,a,b
});
es.push_back((edge)
{
v,u,,-a,-b
});
int x=es.size();
G[u].push_back(x-);
G[v].push_back(x-);
}
bool SPFA(int s,int t,double mid)
{
static std::queue<int> q;
static bool inq[maxn];
for(int i=; i<maxn; i++) dist[i]=1.0*inf,inq[i]=false;
pre[s]=-;
dist[s]=0.0;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
inq[u]=false;
for(int i=; i<G[u].size(); i++)
{
edge e=es[G[u][i]];
double d=0.0;
if(e.a&&e.b) d=1.0*e.a-mid*e.b;
if(e.c&&dist[e.to]>dist[u]-d)
{
pre[e.to]=G[u][i];
dist[e.to]=dist[u]-d;
if(!inq[e.to]) q.push(e.to),inq[e.to]=true;
}
}
}
return fabs(inf-dist[t])>eps;
}
double dinic(int s,int t,int f,double mid)
{
int flow=;
double cost=0.0;
while(SPFA(s,t,mid))
{
int d=f;
for(int i=t; i!=s; i=es[pre[i]].from)
d=min(d,es[pre[i]].c);
f-=d;
flow+=d,cost+=d*dist[t];
for(int i=t; i!=s; i=es[pre[i]].from)
{
es[pre[i]].c-=d;
es[pre[i]^].c+=d;
}
if(f<=) break;
}
for(int i=; i<es.size(); i+=) es[i].c=,es[i+].c=;
//cout<<-1*cost<<" ******"<<endl<<endl;
return -*cost;
}
bool check(double mid,int s,int t,int n)
{
return dinic(s,t,n,mid)>=eps?true:false;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d",&n);
for(int i=; i<=n; i++)
{
for(int j=; j<=n; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
}
for(int i=; i<=n; i++)
{
for(int j=; j<=n; j++)
scanf("%d",&b[i][j]);
}
int s=,t=*n+;
for(int i=; i<=n; i++) addedge(s,i,,,);
for(int i=; i<=n; i++)
{
for(int j=; j<=n; j++)
addedge(i,j+n,,a[i][j],b[i][j]);
}
for(int i=; i<=n; i++) addedge(i+n,t,,,);
double l=0.0,r=1000000000.0;
double ans=0.0;
while((r-l)>eps)
{
double mid=(l+r)/;
//printf("%.8f %.8f %.8f\n",l,r,mid);
if(check(mid,s,t,n)) l=mid,ans=l;
else r=mid;
}
printf("%.6f\n",ans);
return ;
}
基础01分数规划+最大权匹配