三、曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）

曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）或曼德勃罗复数集合，是一种在复平面上组成分形的点的集合，因由曼德勃罗提出而得名。曼德博集合可以使复二次多项式 进行迭代来获得。其中，c是一个复参数。对于每一个c，从 z = 0 开始对fc(z)进行迭代。序列 的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内（这与不同的参数c有关）。曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。

最后，我们给出一个利用C语言生成Mandelbrot集合并绘制图形的程序（该程序来自文献【1】）：

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <complex.h>
     
    #define width_size      800
    #define height_size     600
    #define Maxval          255
     
    static const float orig_x = width_size * 2/3;
    static const float orig_y = height_size * 1/2;
    static const pixel dim_gray = { 105, 105, 105 };

    typedef struct _pixel {
        unsigned char r;
        unsigned char g;
        unsigned char b;
    } pixel;static unsigned char iteration(int x, int y)
    {
        const int limit = Maxval + 1;
        int i;
        complex c = ((x - orig_x) / (width_size / 3)) +
        ((orig_y - y) / (height_size / 2)) * I;
        complex z = 0;
        
        for (i = 0; i < limit; i++) {
            /* basic formula */
            z = z * z + c;
            if (creal(z) > 2 || cimag(z) > 2)
                break;
        }
        return (unsigned char) (i == limit ? 0 : i);
    }
 
    int main()
    {
        FILE *f = fopen("mandelbrot.ppm", "w+");
        
        /* PPM header */
        fprintf(f,
                "P6\n"      /* PPM magic number */
                "#Mandelbrot Set\n"
                "%d "       /* width, in ASCII decimal */
                "%d\n"      /* height, in ASCII decimal */
                "%d\n",     /* maximum color value, in ASCII decimal */
                width_size, height_size, Maxval);
        
        /* Write every pixel generated by Mandelbrot Set */
        for (int i = 0; i < height_size; i++) {
            for (int j = 0; j < width_size; j++) {
                unsigned char iter = iteration(j, i);
                if (iter) {
                    pixel p = {
                        .r = iter,
                        .g = (float) abs(j - orig_x) / width_size * Maxval,
                        .b = (float) abs(i - orig_y) / height_size * Maxval };
                    fwrite(&p, sizeof(pixel), 1, f);
                } else {
                    fwrite(&dim_gray, sizeof(pixel), 1, f);
                }
            }
        }        
        fclose(f);
        return 0;
    }

上述程序所生成的图像结果如下图所示，需要补充说明的是：该图像文件格式为ppm，在Windows下你可以使用Photoshop来查看这种类型的图像文件，在OS X系统下你可以使用免费的GIMP软件来查看它。

 

 

参考 http://blog.linux.org.tw/~jserv/archives/2011/09/_mandelbrot_set.html