题目

描述

​ 有\(m\)个操作一次发生，每个操作有\(\frac{1}{2}\)的概率被执行 ;

​ 一次操作为线段树([1,n])上的 \(modify(Node,l,r,ql,qr)\) ;

​ 询问所有\(2^m\)情况的懒标记之和；

范围

​ \(1 \le n \le m \le 10^5\)

题解

• 直接求比较麻烦，考虑求出m个操作之后每个节点有懒标记的概率，再乘以 $ 2^m $ ；

• void update(int k,int l,int r,int x,int y){
  
  	if(l==x&&r==u){...; return;}   //1 //4
  
  	int mid=l+r>>1;
  
  	pushdown(k); //2
  
  	if(y<=mid)update(ls,l,mid,x,y);  //3
  
  	else if(x>mid)update(rs,mid+1,r,x,y); //3
  
  	else update(ls,l,mid,x,mid),update(rs,mid+1,r,mid+1,y); //1
  
  }
  

• 如代码，可以把区间分成四类来讨论：

  1.经过但不为终止节点的区间；

  2.为终止节点的区间；

  3.经过路径节点的被psd到的兄弟节点；

  4.在终止节点的子树里面的点；

  5.没有经过的节点；

• 只需要维护\(f\)表示标记个数的概率，\(g\)表示到根的路径上有标记的概率，只需要写个线段树跟着维护就可以了；

• 为什么这么套路的东西我都没有想出来？？？

  #include<bits/stdc++.h>
  
  #define mod 998244353
  
  #define ll long long
  
  #define ls (k<<1)
  
  #define rs (k<<1|1)
  
  using namespace std;
  
  const int N=100010;
  
  int n,m,f[N<<3],g[N<<3],s[N<<3],ly1[N<<3],ly2[N<<3],iv2=mod+1>>1;
  
  char gc(){
  
      static char*p1,*p2,s[1000000];
  
      if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  
      return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  
  }
  
  int rd(){
  
      int x=0;char c=gc();
  
      while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  
      while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  
      return x;
  
  }
  
  void build(int k,int l,int r){
  
      ly1[k]=1;ly2[k]=s[k]=f[k]=g[k]=0;
  
      if(l==r)return ;
  
      int mid=l+r>>1;
  
      build(ls,l,mid);
  
      build(rs,mid+1,r);
  
  }
  
  void mfy(int k,int x,int y){
  
      g[k]=((ll)g[k]*x%mod+y)%mod;
  
      ly1[k]=(ll)ly1[k]*x%mod;
  
      ly2[k]=((ll)ly2[k]*x%mod+y)%mod;
  
  }
  
  void pushup(int k){s[k]=((ll)s[ls]+s[rs]+f[k])%mod;}
  
  void pushdown(int k){
  
      mfy(ls,ly1[k],ly2[k]);
  
      mfy(rs,ly1[k],ly2[k]);
  
      ly1[k]=1;ly2[k]=0;
  
  }
  
  void update(int k,int l,int r,int x,int y){
  
      if(l==x&&r==y){
  
          f[k]=(ll)(f[k]+1)*iv2%mod;
  
          mfy(k,iv2,iv2);
  
      //  pushdown(k);
  
          pushup(k);
  
          return;
  
      }
  
      pushdown(k);
  
      f[k]=(ll)f[k]*iv2%mod;
  
      g[k]=(ll)g[k]*iv2%mod;
  
      int mid=l+r>>1;
  
      if(y<=mid)f[rs]=(ll)(f[rs]+g[rs])*iv2%mod,pushup(rs),update(ls,l,mid,x,y);
  
      else if(x>mid)f[ls]=(ll)(f[ls]+g[ls])*iv2%mod,pushup(ls),update(rs,mid+1,r,x,y);
  
      else update(ls,l,mid,x,mid),update(rs,mid+1,r,mid+1,y);
  
      pushup(k);
  
  }
  
  int main(){
  
  //  freopen("segment.in","r",stdin);
  
  //  freopen("segment.out","w",stdout);
  
      n=rd();m=rd();
  
      build(1,1,n);
  
      for(int i=1,pw=1;i<=m;++i){
  
          int op=rd(),l,r;
  
          if(op&1)l=rd(),r=rd(),update(1,1,n,l,r),pw=(pw<<1)%mod;
  
          else printf("%d\n",(ll)s[1]*pw%mod);
  
      }
  
      return 0;
  
  }