2015-12-17晚，复习，甚是无聊，阅《复杂网络算法与应用》一书，得知最小生成树问题（Minimum spanning tree）问题。记之。
何为树：连通且不含圈的图称为树。
图T=(V,E),|V|=n,|E|=m,下列关于树的说法等价：
- T是一个树。
- T无圈，且m=n-1。
- T连通，且m=n-1。
- T无圈，但每加一新边记得到唯一一个圈。
- T连通，但任舍去一边就不连通。
- T中任意两点，有唯一道路相连。
何为生成树：若图G=(V,E)的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树，也称支撑树，简称为图G的数。图G中属于生成树的边称为数枝（Branch）。
何为最小生成树：连通图G=(V,E),每条边上有非负权L(e)。一棵树上所有树枝权的总和，称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树，也就是说最小支撑树，简称最小树。
私以为，两种算法其实都是贪心，所以需要严格的证明。由于最近时间零散、数学久置未学、对算法领域没有系统了解。所以不进行深入探讨（也就是说证明），仅以一个简单实例做一个入门级的了解。
Prim算法：
给定连通赋权图G=(V,E,W)，其中W为邻接矩阵，设两个集合P和Q，其中P用于存放G的最小生成树中的节点，集合Q存放G的最小G的最小生成树中的边。另集合P的初值为P={v1}(假设构造最小生成树时从v1出发)，集合Q的初值为P={空集}。
（1）P = {v1},Q = {空集}；
（2）while P ~= Q
找到最小边pv,其中p∈P,v∈V-P;
P = P + {v};
Q = Q + {pv};
end
Kruskal算法
（1）选e1∈E(G)，使得w(e1) = min（选e1的权值最小）。
（2）e1,e2,...,ei已选好，则从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选取ei+1,使得G[{e1,e2,...,ei,ei+1}]中无圈，且，w(ei+1) = min。
（3）直到选得en-1为止。
以下是问题：
一个乡有9个自然村，其间道路及各道路长度如图所示，各边上数字代表距离。问如何架设电线最短。
预输入：
A = zeros();
A(,:) = [ ];
A(,[, ]) = [ ];
A(, ) = ;
A(, ) = ;
A(, ) = ;
A(, ) = ;
A(, ) = ;
A(, ) = ;
Prim算法实现：
A = A+A';
A(A==) = Inf;
P = zeros(, );
P(,) = ;
V = :;
V_P = V - P;
link = zeros(,);
k=;
while k<
p = P(P~=);
v = V_P(V_P~=);
pv = min(min(A(p,v)));
[x, y] = find(A==pv);
for i=:length(x)
if any(P==x(i)) && any(V_P==y(i))集合判断，关键！
P(,y(i)) = y(i);
V_P = V - P;
link(k, :) = [x(i), y(i)];
k = k+;
break;
end
end
end
输出：
>> link
link =
Kruskal算法实现：
A = sparse(A');
A(A==) = Inf; B = sparse(, );
link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
while sum(sum(link)) == Inf%如果不连通，则和无穷大
ind = find(A==min(min(A)));
[x, y] = ind2sub(size(A), ind);%寻找最短边
for i=:length(x)
if link(x(i), y(i))==Inf%判断是否连通，关键！！
B(x(i), y(i)) = A(x(i), y(i));
A(x(i), y(i))=Inf;%取差集
end
end
link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
end
输出：
B =
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
所以结果是：
（算法实现写于2015-12-18）
下一步工作，用其他语言实现，复杂度分析，深入论证算法正确性。
另外，代码中使用了graphallshortestpaths函数，这是最短路径的问题。关于最短路径将在下一篇讲述。其实MATLAB有关于求求最小生成树的函数graphminspantree，关于这一套函数，将结合官网资料，以后做梳理。
A = sparse(A');
>> graphminspantree(A)
ans =
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
(,)
如此，可直接求得最小生成树。