深度学习入门笔记(二)：神经网络基础
1、二分类
下面要学习的是神经网络的基础知识，其中需要注意的是，当实现一个神经网络的时候，需要知道一些非常重要的技术和技巧，闲言少叙，直接开搞。
逻辑回归(logistic regression) 是一个用于 二分类(binary classification) 的算法。首先从一个问题——猫咪识别开始说起，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果;如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果。用字母 y yy 来表示输出的结果标签，如下图所示：
如上图所示，一张图片在计算机中对应三个矩阵，分别对应图片中的红、绿、蓝三种颜色通道，且图片大小与三个矩阵相同，分别对应图片中红、绿、蓝三种像素的强度值。
为了把这些像素值转换为 特征向量 x xx，需要定义特征向量表示图片，把像素都取出来，也就是矩阵中的数据，例如255、231等等，取完红色像素接着是绿色像素，最后是蓝色像素，直到得到特征向量，也就是图片中红、绿、蓝像素排列的值。如果图片的大小为64x64像素，那么 x xx 的总维度，是64 * 64 * 3，也即是三个像素矩阵中的像素总量(12288)。
现在用 nx=12288 n_x=12288n
x
=12288 来表示输入特征向量的维度，有时为了简洁，直接用小写的 n nn 来表示。所以二分类问题中，最终的目标就是习得一个分类器，以图片特征向量作输入，预测输出结果 y yy 是1还是0，即预测图片中是否有猫。
符号定义 ：
x xx：表示一个 nx n_xn
x
维数据，为输入数据，维度为 (nx,1) (n_x,1)(n
x
,1);
y yy：表示输出结果，取值为 (0,1) (0,1)(0,1);
(x(i),y(i)) (x^{(i)},y^{(i)})(x
(i)
,y
(i)
)：表示第 i ii 组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据;
X=[x(1),x(2),...,x(m)] X=[x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}]X=[x
郑州妇科：http://www.zzrlyytj.com/
郑州妇科医院：http://www.zzrlyytj.com/
(1)
,x
(2)
,...,x
(m)
]：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 nx×m n_x×mn
x
×m 的矩阵中，其中 m mm 表示样本数目;
Y=[y(1),y(2),...,y(m)] Y=[y^{(1)},y^{(2)},...,y^{(m)}]Y=[y
(1)
,y
(2)
,...,y
(m)
]：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为 1×m 1×m1×m。
2、逻辑回归
对于二元分类问题，给定输入特征向量 X XX，它可能对应一张图片，如果想识别这张图片是否是猫的图片，怎么做?
定义算法的输出预测为 yˆ \hat{y}
y
^
，也就是对实际值 y yy 的估计。更正式地来说，yˆ \hat{y}
y
^
表示 y yy 等于1的一种可能性或者是几率，当然，前提条件是给定了输入特征 X XX。
上面说过 X XX 是一个 nx n_xn
x
维的向量，相当于有 nx n_xn
x
个特征的特征向量。w ww 表示逻辑回归的参数，也是一个 nx n_xn
x
维向量，因为 w ww 实际上是 特征权重，维度与特征向量相同。参数里面还有 b bb，是一个实数，表示偏差。所以给出输入以及参数后，一个可以尝试却不可行的结果是 yˆ=wTx+b \hat{y}={{w}^{T}}x+b
y
^
=w
T
x+b。
为什么说可以尝试，却不可行呢?注意，这时得到的实际上是线性回归时用到的一个关于输入 x xx 的线性函数，但这对二元分类问题来讲，却不是一个非常好的算法。因为 yˆ \hat{y}
y
^
表示实际值 y yy 等于1的几率，也就是说 yˆ \hat{y}
y
^
应该在0到1之间。
这是一个需要解决的问题，因为 wTx+b {{w}^{T}}x+bw
T
x+b 可能比1要大得多，更有甚者，可能是一个负值，但是我们想要的是一个概率。因此，在逻辑回归中，输出是 yˆ \hat{y}
y
^
作为自变量的 sigmoid 函数的输出值。有点绕，其实简单来说， yˆ=sigmoid(y) \hat{y} = sigmoid(y)
y
^
=sigmoid(y)。
如上图所示，就是 sigmoid 函数的图像，它平滑地从0走向1，这里的作用其实还是把线性函数转换为非线性函数。
关于 sigmoid 函数的公式是这样的
σ(z)=11+e−z \sigma \left( z \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-z}}}
σ(z)=
1+e
−z
1
这里要注意的是，从图像可以看出两点：
如果 z zz 非常大，那么 e−z {{e}^{-z}}e
−z
将会接近于0，σ(z) \sigma \left( z \right)σ(z) 会非常接近1。
相反地，如果z zz 非常小或者一个绝对值很大的负数，那么 e−z {{e}^{-z}}e
−z
会变得很大，σ(z) \sigma \left( z \right)σ(z) 就接近于0。
因此当实现逻辑回归时，yˆ \hat{y}
y
^
在0到1之间，成为对 y=1 y=1y=1 概率的一个很好的估计。
3、逻辑回归的代价函数
为什么需要代价函数(也翻译作成本函数)?
为了训练逻辑回归模型，得到参数 w ww和参数 b bb。
看到这里你可能有点蒙逼，先来看一下损失函数吧，你可能会问那 什么是损失函数? 损失函数又叫做 误差函数，用来衡量算法的运行情况，Loss function：L(yˆ,y) L\left( \hat{y},y \right)L(
y
^
,y).。通过这个 L LL，也就是损失函数，来衡量预测输出值和实际值有多接近。
一般的损失函数有预测值和实际值的平方差或者它们平方差的一半，但是通常在逻辑回归中不这么做，为什么?因为在学习逻辑回归参数时，会发现优化目标不是 凸优化(在凸优化中局部最优值必定是全局最优值)，只能找到多个局部最优值，很可能找不到全局最优值。所以虽然平方差是一个不错的损失函数，但在逻辑回归模型中定义的是另外一个损失函数，即
L(yˆ,y)=−ylog(yˆ)−(1−y)log(1−yˆ) L\left( \hat{y},y \right)=-y\log(\hat{y})-(1-y)\log (1-\hat{y})
L(
y
^
,y)=−ylog(
y
^
)−(1−y)log(1−
y
^
)
为什么要用这个函数作为逻辑损失函数?来举两个例子你就懂了，首先确定一件事，无论解决什么问题，你肯定想要误差尽可能地小。好了，现在来看例子吧：
当 y=1 y=1y=1 时损失函数 L=−log(yˆ) L=-\log (\hat{y})L=−log(
y
^
)，如果想要损失函数 L LL 尽可能得小，那么 yˆ \hat{y}
y
^
就要尽可能大，因为 sigmoid 函数取值 [0,1] [0,1][0,1]，所以 yˆ \hat{y}
y
^
会无限接近于1。
当 y=0 y=0y=0 时损失函数 L=−log(1−yˆ) L=-\log (1-\hat{y})L=−log(1−
y
^
)，如果想要损失函数 L LL 尽可能得小，那么 yˆ \hat{y}
y
^
就要尽可能小，因为 sigmoid 函数取值 [0,1] [0,1][0,1]，所以 yˆ \hat{y}
y
^
会无限接近于0。
而在逻辑回归中，我们期待的输出就是1或者0，是不是这个损失函数更好呢?