【BZOJ-2476】战场的数目矩阵乘法 + 递推

2023-07-26 17:57:28

2476: 战场的数目

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Description

Input

输入文件最多包含25组测试数据，每个数据仅包含一行，有一个整数p（1<=p<=10⁹），表示战场的图形周长。p=0表示输入结束，你的程序不应当处理这一行。

Output

对于每组数据，输出仅一行，即满足条件的战场总数除以987654321的余数。

Sample Input

7
8
9
10
0

Sample Output

0
2
0
9

HINT

湖南省第六届大学生计算机程序设计竞赛

Source

鸣谢刘汝佳先生授权使用

Solution

战场的定义比较趋近于俄罗斯方块，及不能有悬空的块；每个块下面必须为底或者是另一个块，并且这些块不能构成一个矩形。

直接入手比较麻烦。

很显然的就是高就是最高的块所在的层数，宽也是最后一层的宽度。

分情况讨论一下，显然只有$p$为偶数的时候才可能有答案，奇数一定无解。

1.如果左/右只有一边存在一个单独的块。

这样删掉这个块将会得到周长为$p-2$时的一种方案。

2.如果左/右都不存在单独一个块。

这样无法通过删单个块得到一种周长为$p-2$的方案，但是，可以通过去掉最后一层得到一种周长为$p-2$的方案。

3.如果左/右都存在一个单独的块。

这种方案，会在情况1中额外统计，所以要减去，而这样的方案数则对应是周长为$p-4$时的方案。

然后就可以得到递推式$f[p]=2*f[p-2]+f[p-2]-f[p-4]=3*f[p-2]-f[p-4]$

然后这个显然是可以矩阵乘法优化的，不过这样会产生一些不必要的内存，所以我们把$p=p/2$然后就可以得到$f[p]=3*f[p-1]-f[p-2]$

这样得到的答案，是满足的情况，是包含正好组成矩形的情况的，所以我们在最后把它减去即可。

有一些小细节，稍微注意一下！

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

#define LL long long

inline int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define P 987654321

struct Matrix{int a[][]; Matrix() {memset(a,,sizeof(a));}}A,B;

int N,T;

Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)

{

    Matrix C;

    for (int k=; k<=; k++)

        for (int i=; i<=; i++)

            if (A.a[i][k])

                for (int j=; j<=; j++)

                    if (B.a[k][j])

                        C.a[i][j]=(C.a[i][j]+((LL)A.a[i][k]*B.a[k][j]+P)%P+P)%P;

    return C;

}

Matrix operator ^ (Matrix x,int k)

{

    Matrix re; for (int i=; i<=; i++) re.a[i][i]=;

    for (int i=k; i; i>>=,x=x*x) if (i&) re=re*x;

    return re;

}

int main()

{

    A.a[][]=; A.a[][]=-; A.a[][]=;

    A.a[][]=; A.a[][]=; A.a[][]=;

    A.a[][]=; A.a[][]=; A.a[][]=;

    B.a[][]=; B.a[][]=; B.a[][]=;

    while ()

        {

            N=read(); if (!N) break;

            if (N& || N<) {puts(""); continue;}

            if (N==) {puts(""); continue;}

            if (N==) {puts(""); continue;}

            Matrix ANS;

            ANS=A^(N/-); ANS=ANS*B;

//            for (int i=1; i<=3; i++,puts(""))

//                for (int j=1; j<=3; j++)

//                    printf("%d  ",ANS.a[i][j]);

            printf("%d\n",(ANS.a[][]-(N/-)+P)%P);

        }

    return ;

}

又发了道水题，很惭愧....

码农公寓