[问题2014S08] 解答 (此解答由徐昊宸同学和鹿彭同学提供)

设 \(P_1(\lambda),P_2(\lambda),Q_1(\lambda),Q_2(\lambda)\) 为可逆 \(\lambda\)-矩阵, 使得 \[P_1(\lambda)(\lambda I_m-A_1)Q_1(\lambda)=\Lambda_1=\mathrm{diag}\{d_{11}(\lambda),d_{12}(\lambda),\cdots,d_{1m}(\lambda)\},\] \[P_2(\lambda)(\lambda I_n-A_2)Q_2(\lambda)=\Lambda_2=\mathrm{diag}\{d_{21}(\lambda),d_{22}(\lambda),\cdots,d_{2n}(\lambda)\}\] 分别为 \(A_1,A_2\) 的法式. 由于 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值, 即 \(A_1\) 的特征多项式 \(f_1(\lambda)\) 与 \(A_2\) 的特征多项式 \(f_2(\lambda)\) 没有公共根, 故 \(f_1(\lambda)\) 与 \(f_2(\lambda)\) 互素. 因为 \(f_1(\lambda)=d_{11}(\lambda)d_{12}(\lambda)\cdots d_{1m}(\lambda)\) 以及 \(f_2(\lambda)=d_{21}(\lambda)d_{22}(\lambda)\cdots d_{2n}(\lambda)\), 所以 \[(d_{1i}(\lambda),d_{2j}(\lambda))=1,\,i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n.\] 由互素多项式的性质知, 存在多项式 \(u_{ij}(\lambda),v_{ij}(\lambda)\), 使得 \[d_{1i}(\lambda)u_{ij}(\lambda)+d_{2j}(\lambda))v_{ij}(\lambda)=1,\,i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n.\cdots\cdots(1)\]

令 \[P(\lambda)=\begin{bmatrix} P_1(\lambda) & 0 \\ 0 & P_2(\lambda) \end{bmatrix},\,Q(\lambda)=\begin{bmatrix} Q_1(\lambda) & 0 \\ 0 & Q_2(\lambda) \end{bmatrix},\] 则 \[P(\lambda)(\lambda I-A)Q(\lambda)=\begin{bmatrix} \Lambda_1 & C(\lambda) \\ 0 & \Lambda_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(C(\lambda)=-P_1(\lambda)BQ_2(\lambda)\) 为 \(m\times n\) 阶 \(\lambda\)-矩阵. 设 \(C(\lambda)=\Big(c_{ij}(\lambda)\Big)_{m\times n}\). 若 \(c_{ij}(\lambda)\neq 0\), 则利用 (1) 式, 将 \(\Lambda_1\) 中的 \(d_{1i}\) 乘以 \(-u_{ij}(\lambda)c_{ij}(\lambda)\) 以及将 \(\Lambda_2\) 中的 \(d_{2j}\) 乘以 \(-v_{ij}(\lambda)c_{ij}(\lambda)\) 全部加到 \(C(\lambda)\) 的第 \((i,j)\) 位置, 即可消去 \(c_{ij}(\lambda)\). 因此 \[\begin{bmatrix} \Lambda_1 & C(\lambda) \\ 0 & \Lambda_2 \end{bmatrix}\,\mbox{相抵于}\begin{bmatrix} \Lambda_1 & 0 \\ 0 & \Lambda_2 \end{bmatrix},\] 从而 \(\lambda I-A\) 相抵于 \(\mathrm{diag\{\Lambda_1,\Lambda_2\}}\). 由复旦高代教材 P271 引理 7.6.2 知, \(A\) 的初等因子组等于 \[d_{11}(\lambda),d_{12}(\lambda),\cdots,d_{1m}(\lambda);d_{21}(\lambda),d_{22}(\lambda),\cdots,d_{2n}(\lambda)\] 的准素因子全体, 从而即为 \(A_1\) 的初等因子组和 \(A_2\) 的初等因子组的无交并集, 故 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\begin{bmatrix} J_1 & 0 \\ 0 & J_2 \end{bmatrix}. \quad\Box\]