统计了14天的气象数据D(指标包括outlook，temperature，humidity，windy)，并已知这些天气是否打球(play)。如果给出新一天的气象指标数据:sunny,cool,high,TRUE，判断一下会不会去打球。

outlook	temperature	humidity	windy	play
sunny	hot	high	FALSE	no
sunny	hot	high	TRUE	no
overcast	hot	high	FALSE	yes
rainy	mild	high	FALSE	yes
rainy	cool	normal	FALSE	yes
rainy	cool	normal	TRUE	no
overcast	cool	normal	TRUE	yes
sunny	mild	high	FALSE	no
sunny	cool	normal	FALSE	yes
rainy	mild	normal	FALSE	yes
sunny	mild	normal	TRUE	yes
overcast	mild	high	TRUE	yes
overcast	hot	normal	FALSE	yes
rainy	mild	high	TRUE	no

预备知识：信息熵

熵是无序性（或不确定性）的度量指标。假如事件A的全概率划分是（A1,A2,...,An），每部分发生的概率是(p1,p2,...,pn)，那信息熵定义为：

通常以2为底数，所以信息熵的单位是bit。

C4.5算法

构造树的基本想法是随着树深度的增加，节点的熵迅速地降低。熵降低的速度越快越好，这样我们有望得到一棵高度最矮的决策树。

在没有给定任何天气信息时，根据历史数据，我们只知道新的一天打球的概率是9/14，不打的概率是5/14。此时的熵为：

Info(D) = -9/14 * log2(9/14) - 5/14 * log2(5/14) = 0.940

属性有4个：outlook，temperature，humidity，windy。我们首先要决定哪个属性作树的根节点。

对每项指标分别统计：在不同的取值下打球和不打球的次数。

outlook			temperature			humidity			windy			play
	yes	no		yes	no		yes	no		yes	no	yes	no
sunny	2	3	hot	2	2	high	3	4	FALSE	6	2	9	5
overcast	4	0	mild	4	2	normal	6	1	TRUR	3	3
rainy	3	2	cool	3	1

下面对属性集中每个属性分别计算信息熵，如下所示：

Info(outlook) = 5/14 * [- 2/5 * log₂(2/5) – 3/5 * log₂(3/5)] + 4/14 * [ - 4/4 * log₂(4/4) - 0/4 * log₂(0/4)] + 5/14 * [ - 3/5 * log₂(3/5) – 2/5 * log₂(2/5)] = 0.694

Info(temperature) = 4/14 * [- 2/4 * log₂(2/4) – 2/4 * log₂(2/4)] + 6/14 * [ - 4/6 * log₂(4/6) - 2/6 * log₂(2/6)] + 4/14 * [ - 3/4 * log₂(3/4) – 1/4 * log₂(1/4)] = 0.911

Info(huminity) = 7/14 * [- 3/7 * log₂(3/7) – 4/7 * log₂(4/7)] + 7/14 * [ - 6/7 * log₂(6/7) - 1/7 * log₂(1/7)] = 0.789

Info(windy) = 6/14 * [- 3/6 * log₂(3/6) – 3/6 * log₂(3/6)] + 8/14 * [ - 6/8 * log₂(6/8) - 2/8 * log₂(2/8)] = 0.892

根据上面的数据，我们可以计算选择第一个根结点所依赖的信息增益值，计算如下所示：

gain(outlook) = Info(D) - Info(outlook) = 0.940 - 0.694 = 0.246

gain(temperature) = Info(D) - Info(temperature) = 0.940 - 0.911 = 0.029

gain(huminity) = Info(D) - Info(huminity) = 0.940 - 0.789 = 0.151

gain(windy) = Info(D) - Info(windy) = 0.940 - 0.892 = 0.048

接下来，我们计算分裂信息度量H(V)：

• outlook属性

属性outlook有3个取值，其中sunny有5个样本、rainy有5个样本、overcast有4个样本，则

H(outlook) = - 5/14 * log₂(5/14) - 5/14 * log₂(5/14) - 4/14 * log₂(4/14) = 1.577406282852345

• temperature属性

属性temperature有3个取值，其中Hot有4个样本、Mild有6个样本、Cool有4个样本，则

H(temperature) = - 4/14 * log₂(4/14) - 6/14 * log₂(6/14) - 4/14 * log₂(4/14) = 1.5566567074628228

• huminity属性

属性huminity有2个取值，其中Normal有7个样本、High有7个样本，则

H(huminity) = - 7/14 * log2(7/14) - 7/14 * log2(7/14) = 1.0

• windy属性

属性windy有2个取值，其中True有6个样本、False有8个样本，则

H(windy) = - 6/14 * log2(6/14) - 8/14 * log2(8/14) = 0.9852281360342516

根据上面计算结果，我们可以计算信息增益率，如下所示：

IGR(outlook) = Info(outlook) / H(outlook) = 0.246/1.577406282852345 = 0.15595221261270145

IGR(temperature) = Info(temperature) / H(temperature) = 0.029 / 1.5566567074628228 = 0.018629669509642094

IGR(huminity) = Info(huminity) / H(huminity) = 0.151/1.0 = 0.151

IGR(windy) = Info(windy) / H(windy) = 0.048/0.9852281360342516 = 0.048719680492692784

所以我们可以选出第一个根节点是outlook

最后得到的决策树为：

参考文献：

[1]http://blog.csdn.net/xuxurui007/article/details/18045943

[2]http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2842490.html