扩展kmp——原创

扩展kmp                 LRH

所谓扩展kmp指的是与kmp相似的求辅助数组的原理,但是本身与kmp关系不大。

1.exkmp的用途:给定一个主串s和一个子串t,求出s中每一个后缀和子串t的最长公共前缀。

2.算法推导:

给定一个主串:S=aaaaaaaaaabaaa

 T=aaaaaaaaaaa

(下标都是从零开始!!!)

                 第一步

需要有两个辅助数组:extand[i]和next[i];

extand[i]:表示主串S以i开始的后缀与子串T的最长公共前缀。

next[i]:表示子串T中以i开始的后缀与子串本身的最长公共前缀。

首先看这个样例,很显然extend[1]=10。然后要求extend[2]。如果暴力求的话还要再用每个字符比较一遍太过麻烦。那么已经求得的extend[1]是不是可以利用呢?

通过求得的extend[1]我们已经知道了:S[1...10]=T[1…10](不知道为什么的看定义去)。那么S[2..10]=T[2…10]。再算extend[2]时很明显extand[1]是没有用的,所以要从S[2]匹配。于是我们就要再引入一个数组next[i]。根据定义:

因为next[2]=9;

所以T[211]=T[110]

所以T[210]=T[19](都删去一个字符)

所以T[19]=S[210]

所以extand[2]就等于9啊!!!多么神奇啊!

第二步

求完extand[2]后就可以知道这种求法原理是一种递推的。那么下面我们抛开特殊来看一般

我们假设extand[1…k]已经求好(就像刚刚那个extand[1]已经求好一样)。并且,在以前匹配过程中在S当中所匹配到的最远位置是p那么这个最远的位置是不是就是i+extand[i]-1?(当前位置+匹配长度-1=匹配到的末端位置),其中i=1…k。不妨取这个最远的位置所对应的i是a很显然这个a是比p要小的。那么根据定义就可以推出           S[ap]=T[1p-a+1];

所以 S[k+1p]=T[k+a+2p-a+1](都删去一段字符)

我们再定义一个L,另L= extand[k-a+2](注意:这是定义的,不要老是纠结他究竟是为了什么,不然会很痛苦!!!这个会用到的。)

那么根据L就可以推导出:T[1L]=T[k-a+2k+L-a+1]

相信看到这里大多数人都已经懵逼了,那我们还是先回想一下next数组的定义,然后画个图就能懂了:

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是不是已经懂了?这是next数组的一个性质,前面在推extand[2]的时候应经用了。

第三步

现在就出现了两种情况:

(一) k+L<p

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图中红色的区域一定是相等的,即S[k+1k+1+L]=T[1L]

因为前面已经推导过T[1L]=T[k-a+2k+L-a+1](1)

并且S[k+1p]=T[k+a+2p-a+1](2)   p>k+L

所以(1)式的右端点在(2)式右端点的左边。

所以 多出来的那块=(p-a+1)-(k+L-a+1)

再用p-[(p-a+1)-(k+L-a+1)]+1=k+L+1!

所以就推出了S[k+1k+L+1]=T[1L]

那么就可以知道蓝色的部分一定不会相等(因为L=extend[k-a+2]呀,如果相等的话那extend[k-a+2]不就等于L+1甚至更大了吗?)

为什么k+L不能=p?  因为小于p时p之前一定存在一个字符与T[L+1]不匹配(图中蓝色区域)。如果等于p,那就无法判断下一位是否不匹配了。

所以我们就得出了extend[k+1]=L,就求出来了!

(二) k+L>=p

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明白了第一种,这种情况就比较通俗易懂啦!

上图的紫色部分是未知的,红色部分是已经匹配的。因为在计算extend[1…k]时达到的最远位置是p,所以p之后的的位置无法访问。那怎么办?问我??这还用说:暴力求啊!

从S[p+1]和T[p-k+1]开始匹配不就完啦?之后更新extend[a]+a和extend[k+1]+k+1的大小,后者的就更新最远位置p然后,,,就没有然后了!!!!

那么next数组怎么求呢?其实next数组就是一个以T为主串,T为字串的一个特殊的扩展kmp!用上文介绍的相同算法计算next数组即可。

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唉!这就完了。写了整整一个晚上,因为下午刚学,连推公式带迷茫的痛苦了三个小时,终于完成了再附一个代码:

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