05插值和拟合
1.一维插值
(1) 机床加工零件，试用分段线性和三次样条两种插值方法计算。并求x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最小值。
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
% interp1现有插值函数，要求x0单调，'method'有
% nearest 最近项插值 linear 线性插值
% spline 立方样条插值 cubic 立方插值
y1=interp1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x,'spline'); pp1=csape(x0,y0);
y3=fnval(pp1,x); pp2=csape(x0,y0,'second');
y4=fnval(pp2,x); [x',y1',y2',y3',y4'] subplot(1,4,1)
plot(x0,y0,'+',x,y1)
title('Piecewise linear 分段线性') subplot(1,4,2)
plot(x0,y0,'+',x,y2)
title('spline1') subplot(1,4,3)
plot(x0,y0,'+',x,y3)
title('spline2') subplot(1,4,4)
plot(x0,y0,'+',x,y4)
title('second') dx=diff(x);
dy=diff(y3);
dy_dx=dy./dx;
dy_dx0=dy_dx(1);
ytemp=y3(131:151);
ymin=min(ytemp);
index=find(y3==ymin);
xmin=x(index);
[xmin,ymin]
(2) 已知速度的四个观测值,用三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分
t 0.15 0.16 0.17 0.18
vt 3.5 1.5 2.5 2.8
format compact;
% 已知速度的四个观测值,用三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分
% t 0.15 0.16 0.17 0.18
% vt 3.5 1.5 2.5 2.8
clc,clear
x0=0.15:0.01:0.18;
y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
% csape 三次样条插值,返回要求插值的的函数值
pp=csape(x0,y0) % 默认的边界条件,Lagrange边界条件
format long g
xishu = pp.coefs % 显示每个区间上三次多项式的系数
s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18) % 求积分
format % 恢复短小数的显示格式 % 画图
t=0.15:0.001:0.18;
y=fnval(pp,t);
plot(x0,y0,'+',t,y)
pp =
包含以下字段的 struct: form: 'pp'
breaks: [0.1500 0.1600 0.1700 0.1800]
coefs: [3×4 double]
pieces: 3
order: 4
dim: 1
xishu =
1 至 2 列
-616666.666666667 33500
-616666.666666667 15000
-616666.666666668 -3499.99999999999
3 至 4 列
-473.333333333334 3.5
11.6666666666671 1.5
126.666666666667 2.5
s =
0.068625
2.二维插值
(1) 丘陵测量高度。试插值一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高的和该点的最高程。
format compact;
% 丘陵,在x,y方向上每隔100m测个点
clear,clc
x=100:100:500;
y=100:100:400;
z=[636 697 624 478 450
698 712 630 478 420
680 674 598 412 400
662 626 552 334 310]; pp=csape({x,y},z') % 三次样条,返回函数
xi=100:10:500;
yi=100:10:400;
cz=fnval(pp,{xi,yi}); % 得到插值后的z [i,j]=find(cz==max(max(cz))) % 找最高点的地址
xm=xi(i),ym=yi(i),zmax=cz(i,j) % 求最高点的坐标 % 画图
[X,Y]=meshgrid(yi,xi);%构造1×1网格，20×20个
[X0,Y0]=meshgrid(y,x);%构造1×1网格，20×20个
plot3(X0,Y0,z,'p', 'MarkerEdgeColor','k','MarkerSize',15 ,'MarkerFaceColor',[.49 1 .63])
hold on
% mesh(X,Y,cz)
surf(X,Y,cz)
pp =
包含以下字段的 struct: form: 'pp'
breaks: {[100 200 300 400 500] [100 200 300 400]}
coefs: [1×16×12 double]
pieces: [4 3]
order: [4 4]
dim: 1
i =
8
j =
9
xm =
170
ym =
170
zmax =
720.6252
(2) 海底水深
format compact;
% 二维海底水深数据
clc,clear;
x=[129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5];
y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5];
z=-[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9]
xmm=minmax(x); % 求x的最大值和最小值
ymm=minmax(y); % 求y的最大值和最小值
xi=xmm(1):xmm(2);
yi=ymm(1):ymm(2);
zi1=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic'); % 立方插值
zi2=griddata(x,y,z,xi,yi','nearest'); % 最近点插值
zi=zi1 %立方插值和最近点插值的混合插值的初始值
zi(isnan(zi1)) = zi2(isnan(zi1)); % 把立方插值中的不确定值缓存最近点插值的结果
subplot(1,2,1),plot(x,y,'*');
subplot(1,2,2),mesh(xi,yi,zi);
3.拟合
(1) 最小二乘拟合
x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2]
ab=r\y
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
% y = 0.9726 + 0.0500*x^2
(2) 多项式拟合
x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996];
y0=[70 122 144 152 174 196 202];
plot(x0,y0,'*')
a=polyfit(x0,y0,1)
y97=polyval(a,1997) % 拟合的多项式在1997处的值
y98=polyval(a,1998)
(3) 最小二乘优化lsqlin函数
x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=lsqlin(r,y)
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
(4) 最小二乘优化lsqcurvefit函数，拟合函数中的参数
fun1.m
function f=fun1(canshu,xdata);
f= exp(-canshu(1)*xdata(:,1)).*sin(canshu(2)*xdata(:,2))+xdata(:,3).^2; %其中canshu(1)=k1，canshu(2)=k2，注意函数中自变量的形式
data1.txt
1 15.02 23.73 5.49 1.21 14 15.94 23.52 5.18 1.98
2 12.62 22.34 4.32 1.35 15 14.33 21.86 4.86 1.59
3 14.86 28.84 5.04 1.92 16 15.11 28.95 5.18 1.37
4 13.98 27.67 4.72 1.49 17 13.81 24.53 4.88 1.39
5 15.91 20.83 5.35 1.56 18 15.58 27.65 5.02 1.66
6 12.47 22.27 4.27 1.50 19 15.85 27.29 5.55 1.70
7 15.80 27.57 5.25 1.85 20 15.28 29.07 5.26 1.82
8 14.32 28.01 4.62 1.51 21 16.40 32.47 5.18 1.75
9 13.76 24.79 4.42 1.46 22 15.02 29.65 5.08 1.70
10 15.18 28.96 5.30 1.66 23 15.73 22.11 4.90 1.81
11 14.20 25.77 4.87 1.64 24 14.75 22.43 4.65 1.82
12 17.07 23.17 5.80 1.90 25 14.35 20.04 5.08 1.53
13 15.40 28.57 5.22 1.66
主函数
% 拟合函数y=e^(-k1*x1)*sin(k2*x2)+x3*3中的参数k1,k2
clc, clear
a=textread('data1.txt');
y0=a(:,[2,7]); %提出因变量y的数据
y0=nonzeros(y0); %去掉最后的零元素，且变成列向量
x0=[a(:,[3:5]);a([1:end-1],[8:10])]; %由分块矩阵构造因变量数据的2列矩阵
canshu0=rand(2,1); %拟合参数的初始值是任意取的
%非线性拟合的答案是不唯一的，下面给出拟合参数的上下界，
lb=zeros(2,1); %这里是随意给的拟合参数的下界,无下界时，默认值是空矩阵[]
ub=[20;2]; %这里是随意给的上界，无上界时，默认值是空矩阵[]
canshu=lsqcurvefit(@fun1,canshu0,x0,y0,lb,ub)
Local minimum possible. lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to
its initial value is less than the default value of the function tolerance. <stopping criteria details> canshu = 0.0000
1.5483