海明码（汉明码）

概念

汉明码（Hamming Code），是在电信领域的一种线性调试码，以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。汉明码在传输的消息流中插入验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，以侦测并更正单一比特错误。由于汉明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）。——百度百科

编码方式

海明码可以对一位比特错误起到检错和纠错的作用，对于海明码的编码方式包涵以下几个过程

确定校验位数

在海明码中，校验位(\(x\))和信息位(\(y\))满足如下关系：

\[2^x \geq x +y \]

根据此公式容易求出检验位和信息位的数量，有如下对应关系：

信息位位数	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120
校验码位数	2	3	4	5	6	7

确定校验位位置

海明码中校验位位置是固定的均为2的幂次的位置（1,2,4,8，……）

确定校验位的值

海明码编码时对于每个校验位会将信息位分组，每一个校验位会覆盖多个信息位，对每个校验位其能覆盖的信息位有如下特点：

\[h为信息位地址\\ p为校验位地址\\ p\&q>0 \]

对于每个校验位所覆盖的区域，采用校验方式确定校验码的值，一般为偶校验

纠错和检错

确定校验位数

在得到海明码之后，我们可以通过总位数来计算出相应的信息位和检验位各有多少，根据上述公式即可，同理即可得到校验位地址，并获得各个校验码

检错

假设各个校验码是由偶校验得到的，那么我们再次计算接收端的海明码对应的各个校验位的值，然后将新得到的校验位的值与发送来的值相比较，相同则证明该校验位覆盖的范围内的信息位全部是正确的，否则则该校验码所覆盖的范围内的信息位存在错误，通过各个校验码的比较我们可以确定那几个分组存在错误，通过查看分组的交集，便可以确定错误的信息位的位置

纠错

得到错误的信息位之后，对其取反即可

示例

发送端信息码：1010110

信息码位数为7，所以可以确定校验码位数为4，海明码总位数为11

校验码位置为：1,2,4,8

计算校验码的值：(偶校验方式)

\[p1 = 偶校验(h1,h3,h5,h7,h9,h11) = 0\\ p2 = 偶校验(h3,h6,h7,h10,h11) = 1\\ p4 = 偶校验(h5,h6,h7) = 1\\ p8 = 偶校验(h9,h10,h11) = 0\\ \]

获得海明码为：01110100110

接收端海明码为：01110100111

确定校验位：1,2,4,8

计算校验码值：

\[p1 = 偶校验(h1,h3,h5,h7,h9,h11) = 1\\ p2 = 偶校验(h3,h6,h7,h10,h11) = 1\\ p4 = 偶校验(h5,h6,h7) = 0\\ p8 = 偶校验(h9,h10,h11) = 1\\ \]

由此确定错误位为11位，因为特殊的分组方式，所以这里计算结果从高位开始排出为1011（二进制）=11，也可确定错误位