正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3288

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张图，没条边\(i\)流量为\(c_i\)，费用是\(d_i\)，然后缩小一个流量费用是\(a_i\)，增加一个流量费用是\(b_i\)。

要求改动图之后最大流不减少

假设减少的费用是\(\Delta X\)，改动次数是\(k\)，求最大化\(\frac{\Delta X}{k}\)

\(1\leq n\leq 5000,1\leq m\leq 3000\)

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解题思路

因为最大流不减少，那么显然因为初始边，最大流也不能增加，所以，每次肯定是选一条回路增流或者退流，这样就是把增流的丢到环上退流的去。

然后对于一条边增流的费用就是\(a_i-d_i\)，退流的费用是\(b_i+d_i\)

然后最大化的那个显然是一个分数规划，就直接二分答案然后边权加上答案看有没有负环就好了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=5e3+10;
struct node{
	int to,next;
	double w;
}a[N<<1];
int n,m,tot,ls[N],cnt[N];
double f[N];bool v[N];queue<int> q;
void addl(int x,int y,double w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	a[tot].w=w;
	ls[x]=tot;return;
}
bool SPFA(double w){
	for(int i=1;i<=n+2;i++)f[i]=1e100,cnt[i]=0;
	q.push(n+1);f[n+1]=cnt[n+1]=0;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();v[x]=0;
		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
			int y=a[i].to;
			if(f[x]+a[i].w+w<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].w+w;
				cnt[y]=cnt[x]+1;
				if(cnt[y]>=n&&a[i].w<0)return 1;
				if(!v[y])q.push(y),v[y]=1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;double A,B,C,D;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		scanf("%lf%lf%lf%lf",&A,&B,&C,&D);
//		if(x==n+1)A=0,B=0,D=0;
		if(C>0)addl(y,x,A-D);
		addl(x,y,B+D);
	}
	double l=0,r=1e8;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(SPFA(mid))l=mid; 
		else r=mid;
	}
	printf("%.2lf\n",(l+r)/2.0);
	return 0; 
}