研究RSA

不知为何，这几天突然有些心烦。望苍茫大地，凭添几分忧伤，可能是下雨的缘故。本篇主要想详细介绍RSA加密算法的原理，经常听别人说，这里是自己想搞清楚，弄明白。首先介绍了基本的数学原理，然后给出一个具体的计算例子和相关的理论充分性证明。

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RSA由来

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：
　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
由于加密和解密使用同样规则（简称”密钥”），这被称为”对称加密算法”（Symmetric-key algorithm）。这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
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1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin、Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为”Diffie-Hellman密钥交换算法”。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。
　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
　　（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
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1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。
这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。

理论基础

这里介绍一点理论基础，都是比较简单的，小学的数学知识。看我细细道来~

####什么是“素数”？
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。素数也称为“质数”。

####什么是“互质数”（或“互素数”）？
小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。
　　判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

####什么是模指数运算？
指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
　　模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如2^3 mod 5 = 3

什么是同余式

表示同余关系的数学表达式，与等式相似。将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，必要时在式尾缀以(mod m) 注明模m（即除数），就是同余式。含有未知数的同余式叫做同余方程，通常要求整数解。
如果两个正整数 a和 b之差能被 n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作：
a ≡b (mod n)

####什么是费马定理
若p是素数，a与p互素，则
a^(p-1）≡1 (mod p）

什么是欧拉定理

欧拉函数φ(n)表示不大于n且与n互素的正整数的个数。
当n是素数，φ(n)=n-1。n=pq,p,q均为素数时，则φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)。
对于互素的a和n，有a^φ(n)≡1(mod n)

什么是模反元素？

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的”模反元素”。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

密钥生成步骤

这里通过实例来说明。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
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第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
　　n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
　　φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
　　ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
　　ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
　　17x + 3120y = 1
这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。如下：
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比如上面显示的这个公钥，那么怎么看出加密指数和模数呢？

下面是我随便从IE里导出的一个证书的公钥

1

30 81 89 02 81 81 00 ee fa 1f c9 b0 43 df 7e 75 81 4e 31 71 91 0b fc 15 9d d9 4a 8a 51 f5 09 18 c6 7c c5 f1 27 c4 01 62 fc bf fc 84 29 a6 2f e6 1e 02 06 0b 96 89 d3 42 b1 73 9f 02 ae 75 62 09 3f 83 80 34 46 60 39 0a e3 21 4e e7 04 42 d5 7e 5e 98 45 27 5d 04 b9 27 32 c0 65 a4 94 85 13 25 db 16 f2 fb 51 c7 ff 28 62 d1 83 31 4f a9 a4 f4 c5 4f 9d 00 2e 14 3f 95 16 9c 4e 25 07 1b d5 7d 38 71 d8 40 f8 aa 71 02 03 01 00 01

在PKCS#1中的RSA的公钥的标准格式为

1
2
3
4
5
6
7

PKCS#1 :
An RSA public key should be represented with the ASN.1 type RSAPublickey:

RSAPublickey ::= SEQUENCE {
   modulus         INTEGER, -- n
   publicExponent INTEGER   -- e
}

然后按照ASN的标准编码，所以说：

1
2
3
4
5
6

30 81 89 02 81 81 00 ee fa 1f c9 b0 43 df 7e 75 81 4e 31 71 91 0b fc 15 
9d d9 4a 8a 51 f5 09 18 c6 7c c5 f1 27 c4 01 62 fc bf fc 84 29 a6 2f e6 1e 
02 06 0b 96 89 d3 42 b1 73 9f 02 ae 75 62 09 3f 83 80 34 46 60 39 0a e3 
21 4e e7 04 42 d5 7e 5e 98 45 27 5d 04 b9 27 32 c0 65 a4 94 85 13 25 db 
16 f2 fb 51 c7 ff 28 62 d1 83 31 4f a9 a4 f4 c5 4f 9d 00 2e 14 3f 95 16 9c 4e 
25 07 1b d5 7d 38 71 d8 40 f8 aa 71 02 03 01 00 01

0x30 0x81 0x89 是一个标识头，整个编码应该是：

1
2
3
4
5
6

02 81 81 00 ee fa 1f c9 b0 43 df 7e 75 81 4e 31 71 91 0b fc 15 9d d9 4a 
8a 51 f5 09 18 c6 7c c5 f1 27 c4 01 62 fc bf fc 84 29 a6 2f e6 1e 02 06 0b 
96 89 d3 42 b1 73 9f 02 ae 75 62 09 3f 83 80 34 46 60 39 0a e3 21 4e e7 
04 42 d5 7e 5e 98 45 27 5d 04 b9 27 32 c0 65 a4 94 85 13 25 db 16 f2 fb 
51 c7 ff 28 62 d1 83 31 4f a9 a4 f4 c5 4f 9d 00 2e 14 3f 95 16 9c 4e 25 07 
1b d5 7d 38 71 d8 40 f8 aa 71 02 03 01 00 01

而

1
2
3
4
5
6

02 81 81 00 ee fa 1f c9 b0 43 df 7e 75 81 4e 31 71 91 0b fc 15 9d d9 4a 
8a 51 f5 09 18 c6 7c c5 f1 27 c4 01 62 fc bf fc 84 29 a6 2f e6 1e 02 06 0b 
96 89 d3 42 b1 73 9f 02 ae 75 62 09 3f 83 80 34 46 60 39 0a e3 21 4e e7
04 42 d5 7e 5e 98 45 27 5d 04 b9 27 32 c0 65 a4 94 85 13 25 db 16 f2 fb 
51 c7 ff 28 62 d1 83 31 4f a9 a4 f4 c5 4f 9d 00 2e 14 3f 95 16 9c 4e 25 07 
1b d5 7d 38 71 d8 40 f8 aa 71

是n的编码。

0x02 0x03 0x01 0x00 0x01是e的编码，不过你还是看不出来这什么整数，
举个例子
对于上面的0x02,0x03,0x01,0x00,0x01 其中0x02,0x03是e的编码的标识头
e的表示是0x01,0x00,0x01，所以e就是0x01256^2+0x00256^1+1=65537

同理n就是

1
2
3
4
5
6

81 00 ee fa 1f c9 b0 43 df 7e 75 81 4e 31 71 91 0b fc 15 9d d9 4a 8a 51 f5 
09 18 c6 7c c5 f1 27 c4 01 62 fc bf fc 84 29 a6 2f e6 1e 02 06 0b 96 89 d3 
42 b1 73 9f 02 ae 75 62 09 3f 83 80 34 46 60 39 0a e3 21 4e e7 04 42 d5 
7e 5e 98 45 27 5d 04 b9 27 32 c0 65 a4 94 85 13 25 db 16 f2 fb 51 c7 ff 28 
62 d1 83 31 4f a9 a4 f4 c5 4f 9d 00 2e 14 3f 95 16 9c 4e 25 07 1b d5 7d 38 
71 d8 40 f8 aa 71 02 03 01 00 01

注意，这个是一个整数的编码，也要像e,那样解码。

RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

1
2
3
4
5
6

　　p
　　q
　　n
　　φ(n)
　　e
　　d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。*这样写道：
　　“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

1
2
3
4
5
6
7
8
9

　　12301866845301177551304949
　　58384962720772853569595334
　　79219732245215172640050726
　　36575187452021997864693899
　　56474942774063845925192557
　　32630345373154826850791702
　　61221429134616704292143116
　　02221240479274737794080665
　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

　　33478071698956898786044169
　　84821269081770479498371376
　　85689124313889828837938780
　　02287614711652531743087737
　　814467999489
　　　　×
　　36746043666799590428244633
　　79962795263227915816434308
　　76426760322838157396665112
　　79233373417143396810270092
　　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓”加密”，就是算出下式的c：

1

　　me ≡ c (mod n)

c = m^e%n

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

1

　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

1

　　cd ≡ m (mod n)

m=c^d%n

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

1

　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种”对称性加密算法”（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

1

c^d ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

1

m^e ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

1

c = m^e - kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

1

(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)

它等同于求证

1

m^ed ≡ m (mod n)

由于

1

ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

1

ed = hφ(n)+1

将ed代入：

1

m^(hφ(n)+1) ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时

1

　　m^φ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

1

　　(m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

1

　　(kp)^q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

1

　　[(kp)^q-1]^h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

即

1

　　(kp)^ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

1

　　(kp)^ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t’p

1

　　(kp)^ed = t'pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

1

　　m^ed ≡ m (mod n)

原式得到证明。

RSA缺陷

当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
　　然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
　　此外，RSA的缺点还有：
A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。