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零、理解与感悟

1、通过杨辉三角形象记忆帕斯卡公式（代码实现的递推式）

2、二维前缀和优化
这里需要注意的是要根据题意，抽象中一个中间态的a数组，模拟二维前缀和的前置原始数组。这个数组的获取有一点点说道，因为所有C数组数据初始值是0，而我们要根据是0，才会把a数组对应位置存入1，这时，就可能把范围外的0也错误的记录到a数组中。
所以，下面的代码第一层循环表示是从N个数中取，第二层表示取i个最多，这样才不会超界，第二层循环千万不要无脑的写成j=1;j<N;j++，这样就不是组合数的范围了，那样的C[i][j]=0，也不知道是原始的0，还是算完的0了。

  for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (!C[i][j])a[i][j] = 1;//如果组合数数组的数字为0，表示此处有一个0

一、帕斯卡公式（杨辉三角）+暴力计算

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的数值上限

int t;       //t次查询
int n;       //n个数字中
int m;       //找m个数字组合
int k;       //给定k，求k的倍数
int C[N][N]; //组合数数组

int main() {
    cin >> t >> k;
    //预处理杨辉三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //组合数C(n,0)=1 组合数C(n,n)=c(n,0)=1
        //递推生成其它组合数
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;
    }

    //处理t次询问
    while (t--) {
        int ans = 0;
        cin >> n >> m;
        //这是最朴素的方法，但每次计算，性能差，因为询问次数多，每次都现从头计算，
        //不是离线计算，是在线计算，不适合多次询问这一方式,可以考虑采用某一种方法进行离线计算就好了。
        //这时就需要引入二维前缀和，否则有两个点TLE，只会得90分。
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= min(i, m); j++)
                if (!C[i][j]) ans++;
        cout << ans << endl;
    }
}

二、帕斯卡公式+二维前缀和优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的数值上限

int t;       //t次查询
int n;       //n个数字中
int m;       //找m个数字组合
int k;       //给定k，求k的倍数
int C[N][N]; //组合数数组
int a[N][N]; //因为组合数C数组，内容并不是1的个数，需要一个转换，这个转换就是a数组。
int s[N][N]; //二维前缀和

int main() {
    cin >> t >> k;
    //预处理杨辉三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //组合数C(n,0)=1 组合数C(n,n)=c(n,0)=1
        //递推生成其它组合数
        //因为是求组合数C(A,B)，那么A一定要大于等于B，否则就不对了。
        //所以，j的循环范围最大就只能是i
        for (int j = 1; j < i; j++)//因为一头一尾j-->0和i都被手动设置了1，所以循环的范围就是中间剩下的了。
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;//因为C数组中已有的数据都是被%k后存入的，
            // 所以这里做加法前不用再%,再%也是那么回事，反而速度更慢了。
    }
    //生成模拟原始数组
    //因为是求组合数C(A,B)，那么A一定要大于等于B，否则就不对了。
    //所以，j的循环范围最大就只能是i,其它的范围，还是默认值0，但那个默认值0可不是%k后造成的值为0，所以，这里的生成模拟原始数组时，
    //一定要注意循环的范围，判断在范围内的值为0的才是一个解，范围外的和我没关系。
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (!C[i][j])a[i][j] = 1;//如果组合数数组的数字为0，表示此处有一个0

    //标准的二维前缀和
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            s[i][j] = a[i][j] + s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1];

    //处理t次询问
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        cout << s[n][m] << endl;
    }
}