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中国剩余定理（CRT）

现在我们考虑一个问题，如何求解：

\[\begin{cases} x\equiv x_1\pmod{p_1}\\ x\equiv x_2\pmod{p_2}\\ ...\\ x\equiv x_n\pmod{p_n} \end{cases} \]

其中，\(p_1,p_2...p_n\)互质。看着就一脸懵逼，所以我们引入中国剩余定理（CRT）解决这个问题。我们假设：

\(M=p_1\times p_2\times...\times p_n\)

\(M_i=M/p_i\)

\(t_i=M_i^{-1}\pmod{p_i}\)，即\(t_i\)为\(M_i\)在\(\pmod {p_i}\)意义下的逆元

所以可以得到\(x_i t_i M_i\equiv x_i \pmod {p_i}\)

又由于\(M_i\)包括了除了\(p_i\)的所有模数，我们可以知道，\(\forall j\in \{1,2...n\}\)，且\(j\neq i\)，都有\(x_it_iM_i\equiv0\pmod{p_j}\)

所以\(x=x_1t_1M_1+x_2t_2M_2+...+x_nt_nM_n\)满足\(\forall i\in \{1,2,..,n\}\)都有\(x_it_iM_i+\sum_{j\neq i}x_jt_jM_j\equiv x_i\pmod{p_i}\)

这说明\(x\)就是方程组的一个解。我们继续考虑，假设已经确定\(x_1、x_2\)是方程组的解，\(p_1,p_2...p_n\)互质，所以\(M\)整除\(x1-x2\)，（别问我所以怎么来的我也不知道），所以不同的\(x\)之间一定相差\(M\)的倍数，最后我们就可以得到\(x\)的通项啦。

\(x=kM+\sum_{i=1}^nx_it_iM_i\)，在\(\pmod{M}\)的情况下\(x=\sum_{i=1}^nx_it_iM_i\)。

（证明过程眼熟吗，眼熟就是百度百科）

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扩展中国剩余定理

（了解完exCRT之后你会发现CRT不用学）

很明显很难保证所有题目中\(p_1p_2...p_n\)互质，不互质就没法做了？当然不是，这个时候exCRT就出现了。

前置芝士：exgcd

扩展中国剩余定理简单来说就是合并同余式子的过程。我们单独拿出前两个式子：

\[\begin{cases} x \equiv x_1\pmod{p_1}\\ x \equiv x_2\pmod{p_2}\\ \end{cases} \]

把它转化一下形式，可以得到：

\[\begin{cases} x=x_1+k_1p_1\\ x=x_2+k_2p_2\\ \end{cases} \]

变形，得到\(x_1+k_1p_1=x_2+k_2p_2 \Rightarrow k_1p_1+(-k_2)p_2=x_2-x_1\)，看起来很像exgcd？那尝试用exgcd求解，从这里我们可以知道，如果\(gcd(p_1,p_2)\nmid (x2-x1)\)，那么此方程组无解（为什么？因为exgcd），所以我们先用exgcd求解\(k_1p_1+(-k_2)p_2=gcd(p_1,p_2)\)，设这里得到的答案为\(T_1,T_2\)，将exgcd求解的式子两边同乘\(\frac{x_2-x_1}{gcd(p_1,p_2)}\)，就可以得到\(k_1=T_1\times \frac{x_2-x_1}{gcd(p_1,p_2)},k_2=T_2\times \frac{x_2-x_1}{gcd(p_1,p_2)}\)，再带入原式，显然满足这两个等式的\(T_1、T_2\)不止一个，每一组\(T_1、T_2\)都对应着一个\(x\)，每两个解的差\(\Delta\)一定是\(\frac{x_2-x_1}{gcd(p_1,p_2)}\times p_1、\frac{x_2-x_1}{gcd(p_1,p_2)}\times p_2\)的倍数，所以\(\Delta\)一定是\(\frac{p_1,p_2}{gcd(p_1,p_2)}=lcm(p_1,p_2)\)的倍数，所以\(x=k_1p_1+x_1+t\times lcm(p_1,p_2)\)，以上两个同余式子就可以化简成为一个：\(x\equiv k_1p_1+x_1\pmod{lcm(p_1,p_2)}\)

同理，n个同余式子我们可以化简成一个，最后合并得到的答案就是\(x\)的通式啦

exCRT's Code

void excrt(){
	int lcm=mod[1],last_x=b[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int k=lcm,x,y,lcm_a=(b[i]-last_x%mod[i]+mod[i])%mod[i];
		int gcd=exgcd(lcm,mod[i],x,y);//x,y代表一组T1,T2
		int ls=lcm_a/gcd;
		x=(mul(x,ls,mod[i]/gcd)%(mod[i]/gcd)+(mod[i]/gcd))%(mod[i]/gcd);//k1
		ls=lcm/gcd;
		lcm=ls*mod[i];//保证了lcm中一定没有相同的因数 
		last_x=(last_x+mul(x,k,lcm))%lcm;
	}
	printf("%lld\n",(last_x%lcm+lcm)%lcm);
	return;
}

（至于为什么没有CRT的code，小编也不知道qwq，感觉exCRT可以做CRT的题吧）