题目

读懂题目之后能写出一个dp方程，\(dp_i=dp_j+(d_i-d_j)p_i+q_i(d_i-d_j\leq lim_i)\)，其中\(d_i\)是根路径前缀和

不难发现这个东西长得像斜率优化，需要建个凸壳来搞一搞；不难想到一个树剖+线段树维护的无脑做法，是\(O(n\log^3n)\)的，看起来和暴力差不多；

考虑有脑做法————有根树点分治，假设我们当前在处理一棵以\(x\)为根的有根树，流程大概长这个样子

• 找到重心\(nw\)

• 将重心与其儿子断开，递归处理重心所在联通块（当然，根也在这个联通块中）

• 考虑\(nw\)到\(x\)路径上的点对\(nw\)子树内部点产生的影响

• 递归处理\(nw\)的子树

在这道题中，我们将重心子树中的点都搞出来，按照\(lim_i -dis_i\)从小到大排序，\(dis_i\)是点\(i\)到根的距离；之后把重心到当前根上的点拿出来，按照距离排序；开个指针扫，把符合条件的点加入下凸壳即可，复查询的时候直接二分，复杂度是\(O(n\log^2n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline LL read() {
    char c=getchar();LL x=0;while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=10ll*x+c-48,c=getchar();return x;
}
const double eps=1e-8;const int maxn=2e5+5;
struct E{int v,nxt;}e[maxn];
int head[maxn],fa[maxn],S,mx[maxn],rt,vis[maxn],n;
int lp,top,st[maxn],cnt,bl[maxn],num,nw,sk[maxn],sum[maxn];
LL p[maxn],q[maxn],dis[maxn],lm[maxn],w[maxn],dp[maxn];
inline void add(int x,int y) {
    e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void getrt(int x) {
    sum[x]=1;mx[x]=0;
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(vis[i])continue;getrt(e[i].v);
        sum[x]+=sum[e[i].v];mx[x]=max(mx[x],sum[e[i].v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],S-sum[x]);if(mx[x]<mx[rt])rt=x;
}
void getdis(int x) {
    st[++top]=x;
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
        if(!vis[i])dis[e[i].v]=dis[x]+w[e[i].v],getdis(e[i].v);
}
inline int cop(int A,int B) {return dis[A]<dis[B];}
inline int cmp(int A,int B) {return lm[A]-dis[A]<lm[B]-dis[B];}
inline int dcmp(double a,double b){return a+eps>b&&a-eps<b;}
inline double slope(int a,int b) {
    return (double)(dp[b]-dp[a])/(double)(dis[b]-dis[a]);
}
inline void ins(int x) {
    if(nw<1) {sk[++nw]=x;return;}
    while(nw>1&&slope(sk[nw-1],x)<slope(sk[nw-1],sk[nw]))--nw;
    sk[++nw]=x;
}
inline int fid(LL k) {
    if(nw<=1)return sk[nw];
    if(slope(sk[nw-1],sk[nw])<k) return sk[nw];
    int l=1,r=nw-1,h=1;
    while(l<=r) {
        int mid=l+r>>1;double K=slope(sk[mid],sk[mid+1]);
        if(K>k||dcmp(K,k))h=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return sk[h];
}
void solve(int x,int nsz) {
    if(nsz==1)return;
    S=nsz;rt=0;getrt(x);if(nsz==2)rt=x;int t=rt,h=rt;
    for(re int i=head[rt];i;i=e[i].nxt)vis[i]=1,nsz-=sum[e[i].v];
    solve(x,nsz);dis[t]=0;top=0;cnt=1;bl[cnt]=x;lp=1;nw=0;
    for(re int i=head[t];i;i=e[i].nxt) 
        dis[e[i].v]=w[e[i].v],getdis(e[i].v);
    while(t!=x) 
        bl[++cnt]=t,dis[fa[t]]=dis[t]+w[t],t=fa[t];
    std::sort(st+1,st+top+1,cmp);
    std::sort(bl+1,bl+cnt+1,cop);
    for(re int i=1;i<=top;i++) {
        while(lp<=cnt&&dis[bl[lp]]+dis[st[i]]<=lm[st[i]])ins(bl[lp]),++lp;
        int j=fid(-1ll*p[st[i]]);
        LL k=dp[j]+(dis[st[i]]+dis[j])*p[st[i]]+q[st[i]];
        if(j)dp[st[i]]=min(dp[st[i]],k);
    }
    for(re int i=head[h];i;i=e[i].nxt)solve(e[i].v,sum[e[i].v]);
}
int main() {
    n=read(),read();
    for(re int i=2;i<=n;i++) {
        fa[i]=read(),add(fa[i],i);w[i]=read();
        p[i]=read(),q[i]=read(),lm[i]=read();
    }
    dp[1]=0;for(re int i=2;i<=n;i++)dp[i]=1e18;
    mx[0]=n+1;solve(1,n);
    for(re int i=2;i<=n;i++)printf("%lld\n",dp[i]);
    return 0;
}