Description

刚开始你有一个数字 $0$，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行或（C++,C 的 `|`，pascal 的 `or`）操作。选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$。保证 $0\leq p_i \leq 1$，$\sum p_i=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$。

Solution

Min-Max容斥转化成求每个子集中任意取到一位的最早时刻

补集转化为一次取数不落在给定子集范围内的概率

FWT预处理

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,N,cnt[1050005];
double p[1050005],ans;
inline int read()
{
    int w=0,f=1;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w*f;
}
int main()
{
    n=read(),N=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<=N;i++) scanf("%lf",&p[i]),cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for(int i=1;i<=N;i<<=1) for(int j=0;j<=N;j+=2*i) for(int k=0;k<i;k++) p[i+j+k]+=p[j+k];
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(1-p[N^i]>1e-10)
            if(cnt[i]&1) ans+=1/(1-p[N^i]);
            else ans-=1/(1-p[N^i]);
        else return puts("INF"),0;
    printf("%lf\n",ans);
    return 0;
}

[HAOI2015]按位或