在神经网络中，有一个常用的激活函数sigmoid函数，这个函数在高等数学中应该是有的，只是当时没有理会。函数图像如下，本文主要主要梳理下相应的数学知识，具体的应用在后续的文章中会涉及。

本文涉及到数学公式，基本都是大学课本或者高中课本里的，有兴趣的一起来回忆下。

传说一个公式能少一个粉丝，但是那也没有办法，神经网络离不开数学，有兴趣的请坚持看下去，虽然有点无聊，但是也许你能了解些新的知识。

导数

定义

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

手动求导数

导数公式

求下面的导数:

y = x 2 + 2 x y = x^2 + 2x y=x2+2x
根据导数公式，很容易求的导数是:
y ˙ = 2 x + 2 \dot{y} = 2x+2 y˙​=2x+2

顺便说一下： 一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）

lnx的导数

lnx的导数是1/x，这个是众所周知的，但是它是怎么证明的，这里就用到了导数的定义，下面是详细的证明过程:

那么这个重要极限又是怎么证明的，

复合函数求导

复合函数求导公式：设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)。

对sigmoid函数求导涉及到的重要公式:
下面通过计算求出公式2.1中的第二个式子，其他的同理。

计算机求导

计算机求导基于的是导数的定义。如果要计算x=3, y=4时关于x的f(x,y)的偏导数， 则可以计算f(3+ε,4) - f(3, 4)并将结果除以ε(使用极限的ε值)。这种类型的导数值称为极限差分近似。

def f(x, y):
    return x ** 2 * y + y + 2


def derivative(f, x, y, x_eps, y_eps):
    return (f(x + x_eps, y + y_eps) - f(x, y)) / (x_eps + y_eps)


df_dx = derivative(f, 3, 4, 0.000001, 0)
df_dy = derivative(f, 3, 4, 0, 0.000001)

print(df_dx)
print(df_dy)

最终的结果:
24.000004003710274
9.99999999606871

按照手动求偏导的结果很接近了。 公式求偏导的结果是24和10。这个可以用来做检验。

参考

https://www.cnblogs.com/peghoty/p/3857839.html
https://www.jianshu.com/p/e74eb43960a1
https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%BC%E6%95%B0/579188?fr=aladdin
https://zhidao.baidu.com/question/524121644.html

写在最后

导数还是很重要的，在优化算法时候的梯度下降法中的梯度本质上就是导数。

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