1.12 NIM（2）“拈”游戏分析

基础问题：有N块石头和两个玩家A和B，玩家A先将石头分成若干堆，然后按照BABAB的顺序不断轮流取石头，能将剩下的石头一次取光的玩家获胜,每一次取石头，每一个玩家只能从若干堆石头中任选一堆，取这一堆石头中任意数目（大于1）个石头,请问：玩家A要怎样分配和取石头才能保证自己有把握获胜？

解法：

n 表示石头的堆数 , m表示总的石头数目
n = 1 , no
n = 2 , m > 2 ,(1,1)是安全局面 , (1,X)就不是安全局面 , (2,2)是安全局面
初步总结，如果石头的数目是偶数个，就将它平均分成两堆，这样无论对手怎么取，自己取完之后保证安全局面就可以了
那么如果石头的数目是奇数个呢？
m = 3 ,(2,1),(1,1,1) no
看整个游戏过程：
n堆石头，从\((m_1,m_2,m_3,...m_n)\)开始，直到石头全部递减为\((0,0,0...,0)\)

• 当m是偶数的时候，将m分成相同的两份，这样就能够取胜：
  开始：\((m_1,m_2)\) ， 他们的异或结果是\(XOR(m_1,m_2) = 0\)
  中途：\((m_1,m_2)\) ，无论对手怎么取，两堆石头肯定变得不相等 \(XOR(m_1,m_2) != 0\)
  我方：\((m_1,m_2)\) ， 将两堆变得相等
  ......
  最后: \((0,0)\) , 我胜
• 当m是奇数的时候：
  开始:\((m_1,m_2,...,m_n)\) ， \(XOR(m_1,m_2,...m_n) = ?\)
  中途:\((m_1,m_2,...,m_n)\) , \(XOR(m_1,m_2,...,m_n) = ?\)
  ......
  最后: \((0,0)\) ,\(XOR(0,0,0,...,0) = 0\)
  事实上：当有奇数个石头的时候，无论怎么分堆\(XOR(m_1,m_2,...m_n) = ?\)的结果不能等于0
  证明：
  当m为奇数的时候（二进制表示最低位为1），异或的结果最低位肯定为1
  更有：还可以证明，当\(XOR(m_1,m_2,...m_n) !=0\)时，我们总可以只改变一个值，就可以让\(XOR(m_1,m_2,...m_n) = 0\)
  还可以证明，\(XOR(m_1,m_2,...m_n) = 0\)时，可以通过修改一个使得\(XOR(m_1,m_2,...m_n) != 0\)
  有了上述的几个证明得之：
  m为奇数的时候，必输

拓展问题:

1 如果规定相反，取光所有石头的人输，又应该如何控制局面？

n代表石头的堆数
m代表石头的总数
\(m_i\)代表第i堆的石头总的数目

• 如果m是奇数，则和上面的证明一样，必赢
• 如果m是偶数，将石头分为数目相同的两堆
  \(if m_1 > 1 ,m_2 > 1 , m_1 = m_2\)取到两堆相同
  \(if m_1 = 1,m_2 > 1\),把\(m_2\)取完，反之同理。
  \(if m_1 = 0\),把\(m_2\)取完，反之同理。

2 如果每一次可以挑选任意K堆，并从中任意取石头，又该如何找到必胜策略呢？

待定