P2900 [USACO08MAR]Land Acquisition G

斜率优化 dp 。

首先，我们可以发现这个题可以贪心：对于一个长度和宽度都小于等于另外一个地的地，我们可以直接划分到另外那一个去，直接把当前这个忽略即可。

然后我们可以发现这个求一个最大值可以直接写成一个 dp 。

设按\(h\)降序排序后： \(dp[i]\) 表示把前 \(i\) 个点划分完毕的代价。

很容易发现此时 \(h\) 单调递减，\(w\) 单调递增。

方程就是 \(dp[i]=\min{dp[j]+(h[j+1]*w[i])}\) 。

可以直接李超树优化即可。

这里写了两个代码：

Code1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
	x=0;bool f=false;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){f=(ch=='-');ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
	return ;
}
const int N=1e6+5,M=1e6;
#define int long long
struct node{
	int h,w;
	inline bool operator < (const node &B){return h==B.h?w>B.w:h>B.h;}
}a[N];
int n,m,top;
int tag[N<<2],k[N],b[N];
#define calc(i,x) (k[i]*x+b[i])
void Modify(int x,int l,int r,int d){
	if(l==r){
		if(calc(tag[x],l)>calc(d,l)) tag[x]=d;
		return ;
	}
	if(!tag[x]) return tag[x]=d,void();
	int mid=l+r>>1;
	if(calc(tag[x],mid)>calc(d,mid)){
		if(k[tag[x]]>k[d]) Modify(x<<1,l,mid,tag[x]),tag[x]=d;
		else Modify(x<<1|1,mid+1,r,tag[x]),tag[x]=d;
	}
	else{
		if(k[tag[x]]>k[d]) Modify(x<<1|1,mid+1,r,d);
		else Modify(x<<1,l,mid,d);
	}
	return ;
}
int Query(int x,int l,int r,int v){
	if(l==r) return calc(tag[x],v);
	int mid=l+r>>1,res=calc(tag[x],v);
	if(v<=mid) res=min(res,Query(x<<1,l,mid,v));
	else res=min(res,Query(x<<1|1,mid+1,r,v));
	return res;
}
//dp[i]=dp[j]+(a[i].w*a[j].h)
int dp[N];
signed main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i].h),read(a[i].w);
	sort(a+1,a+n+1);top=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(a[top].w<a[i].w) a[++top]=a[i];
	n=top;k[0]=b[0]=M;
	k[n+1]=a[1].h,b[n+1]=0;
	Modify(1,1,M,n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=Query(1,1,M,a[i].w);
		k[i]=a[i+1].h,b[i]=dp[i];
		Modify(1,1,M,i);
	}
	write(dp[n]);
	return 0;
}

Code2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
	x=0;bool f=false;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){f=(ch=='-');ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
	return ;
}
const int N=1e6+5,M=1e6;
#define int long long
struct node{
	int h,w;
	inline bool operator < (const node &B){return h==B.h?w>B.w:h>B.h;}
}a[N];
int n,m,top;
int tag[N<<2],k[N],b[N];
#define calc(i,x) (k[i]*x+b[i])
void Modify(int x,int l,int r,int d){
	if(l==r){if(calc(d,l)<calc(tag[x],l)) tag[x]=d;return ;}
	if(!tag[x]){tag[x]=d;return ;}
	int mid=l+r>>1;
	int Y1=calc(tag[x],mid),Y2=calc(d,mid);
	if(k[tag[x]]<k[d]){
		if(Y1<=Y2) Modify(x<<1,l,mid,d);
		else Modify(x<<1|1,mid+1,r,tag[x]),tag[x]=d;
	}
	else if(k[tag[x]]>k[d]){
		if(Y1<=Y2) Modify(x<<1|1,mid+1,r,d);
		else Modify(x<<1,l,mid,tag[x]),tag[x]=d;
	}
	else if(b[tag[x]]<b[d]) tag[x]=d;
	return ;
}
int Query(int x,int l,int r,int d){
	if(l==r) return calc(tag[x],d);
	int mid=l+r>>1;int res=calc(tag[x],d);
	if(d<=mid) res=min(res,Query(x<<1,l,mid,d));
	else res=min(res,Query(x<<1|1,mid+1,r,d));
	return res;
}
//dp[i]=dp[j]+(a[i].w*a[j+1].h)
int dp[N];
signed main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i].h),read(a[i].w);
	sort(a+1,a+n+1);top=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(a[top].w<a[i].w) a[++top]=a[i];
	n=top;k[0]=b[0]=M;
	k[n+1]=a[1].h,b[n+1]=0;
	Modify(1,1,M,n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=Query(1,1,M,a[i].w);
		k[i]=a[i+1].h,b[i]=dp[i];
		Modify(1,1,M,i);
	}
	write(dp[n]);
	return 0;
}