Factorials

Factorials 阶乘

    题目大意:给你一个数n,求出n ! 的最后一个非零位。

    注释:n<=4200

      想法:开始的想法是觉得这道题应该比较的有趣,因为我们知道,一个数的阶乘的最后的非零位后面或者是0,或者n<=4,所以,我们思考,如何才能有效的登出这个非零位。首先,我们发现,这个非零位后面零的个数是和n!中5的个数有关的,所以,我们思考:如果我们使得这个阶乘没有5会怎么样。想着想着,我相信你的头脑里会自然地蹦出一个定理——唯一分解定理。为什么?因为只有在这个定理的辅助下你才可以将5全部提取出来。我们又想到:由于唯一分解定理的存在,每个数都是有一个或几个定下来的素数组成,我们只需要这句话的一个性质:素数。一个数由素数组成,显然,这个素数是不大于本数的,n的数据范围是4200,是完全在我们的接受范围之内,想到这,这道题的大体轮廓就分为这样几个步骤:

      1.筛出n之前的所有素数,由于n的数据范围过小,我们可以O ( n ) 的方法去筛。

      2.对于每一个素数,我想求出n!中这个元素最多可以被整除多少次,也就是说我们到底有多少数包含多少这个素数。在此,介绍一个定理$f(n,k)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{k^i}\rfloor$其中,f(n,k),表示n!中k的个数。

      3.这么筛,显然不对,4200里面2的个数就够我们受的了,我们想得到一种优化,我们发现,我们其实只需要得到这个素数的最后一位即可。

      4.但,还是有些困难,我们又发现了,对于每一个素数来讲(假设这个素数是a)$a^{4*k+i}=a^i$,我们只需处理%4意义下的即可。但是,a==2是需要特判。

      呼~长出一口气,这题就切了。

    最后,附上丑陋的代码......

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int x[];
int ans[];
int num(int a,int b)//计算素数在n!中的个数,这个函数表示b在a!中的个数
{
int ans=;
while(a)
{
ans+=a/b;
a/=b;
}
return ans;
}
int power(int a,int b)//快速幂,其实可以直接乘,因为我们只考虑模4意义下
{
a%=;
int ans=;
while(b)
{
if(b&) ans=(ans*a)%;
b>>=;
a=(a*a)%;
}
return ans;
}
bool prime(int a)//判断是否为素数
{
int k=(int)(sqrt(a));
bool flag=true;
for(int i=;i<=k;i++)
{
if(a%i==)
{
flag=false;
break;
}
}
return flag;
}
int main()
{
int n;
int cnt=;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)//筛素数
{
if(prime(i)) x[++cnt]=i;
}
for(int i=;i<=cnt;i++)//用ans[]存素数个数
{
ans[x[i]]+=num(n,x[i]);
}
ans[]-=ans[];//我们再次用等数量的2将5替换掉,以便将最后的零去掉。
ans[]=;
int ansans=;
for(int i=;i<=cnt;i++)//对于每一个素数来讲,我们进行计算
{
ans[x[i]]%=;
if(ans[x[i]]==&&x[i]==)//特判2,因为别的素数的4次方的最后一位都是1(5已经除去),但2不是
{
ansans*=;
ansans%=;
}
ansans*=power(x[i],ans[x[i]]);
ansans%=;//我们只要最后一位
}
printf("%d\n",ansans);
return ;
}

    小结:错误:

      2A,第一次忘记特判2。

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