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HPF 一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)
LPF 一阶RC低通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)
预备知识
高通滤波器(HPF-high pass filter
)可以滤除频率低于截止频率的信号,类似的还有低通滤波器,带通滤波器,带阻滤波器。一阶RC高通滤波器的电路如下图所示;
关于电容
首先对电容的几个公式做一下补充;
电容大小CCC满足;
C=qV⋯①
C=\cfrac{q}{V} \cdots①
C=Vq⋯①
其中 qqq 是电容所带的电荷量,VVV 是电容两端的电势差;
另外,电流相当于单位时间流过导体的电荷量;因此电流 iii 满足;
i=dqdt⋯② i = \cfrac{dq}{dt}\cdots②i=dtdq⋯②
根据①,②可以得到电容大小 CCC 和电容的电流 iii 以及两端电压 VVV 的关系;
i(t)=Cdv(t)dti(t) = C\cfrac{dv(t)}{dt}i(t)=Cdtdv(t)
HPF的推导
由以上电路可知,假设电流为 i(t)i(t)i(t),则可知
{Vout=Ri(t)⋯③i(t)=CdQc(t)dt⋯④
\begin{cases}
V_{out} = Ri(t) \cdots③ \\
i(t) = C\cfrac{dQ_c(t)}{dt} \cdots④\\
\end{cases}
⎩⎨⎧Vout=Ri(t)⋯③i(t)=CdtdQc(t)⋯④
电容两端的电压为 Vc(t)V_c(t)Vc(t) 根据基尔霍夫定律,满足;
−Vin+VC+Vout=0-V_{in} + V_C + V_{out} = 0−Vin+VC+Vout=0
所以结合①,③,④可以得到;
Qc(t)=C(Vin(t)−Vout(t))⋯⑤Q_c(t) = C( V_{in}(t) - V_{out}(t)) \cdots ⑤Qc(t)=C(Vin(t)−Vout(t))⋯⑤
根据 ③,④,⑤ 可以得到以下关系;
Vout=C(dVindt−dVoutdt)⏞I(t)R=RC(dVindt−dVoutdt)⋯⑥
V_{out} = \overbrace{ C( \cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) }^{I(t)} R = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) \cdots ⑥
Vout=C(dtdVin−dtdVout)I(t)R=RC(dtdVin−dtdVout)⋯⑥
将方程进行离散化,如果输入VinV_{in}Vin和输出输入VoutV_{out}Vout按照 △T\bigtriangleup_{T}△T的时间采样,那么可以将输入和输出序列化,则
VinV_{in}Vin序列化为:
(x1,x2,x3⋯ ,xn−1,xn)(x_{1},x_{2},x_{3}\cdots,x_{n-1},x_{n})(x1,x2,x3⋯,xn−1,xn)
VoutV_{out}Vout序列化为:
(y1,y2,y3⋯ ,yn−1,yn)(y_{1},y_{2},y_{3}\cdots,y_{n-1},y_{n})(y1,y2,y3⋯,yn−1,yn)
根据⑥式可以进行离散化,因此最终滤波输出的序列 yiy_{i}yi 如下所示;
yi=RC(xi−xi−1△T−yi−yi−1△T)⋯⑦
y_{i} = RC(\cfrac{x_{i}-x_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} -\cfrac{y_{i}-y_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} )\cdots⑦
yi=RC(△Txi−xi−1−△Tyi−yi−1)⋯⑦
将⑦再进一步简化得到;
yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})
yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
其中 α=RCRC+△T\alpha = \cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}α=RC+△TRC
所以换成得到;
RC=△T(α1−α)⋯⑧RC = \bigtriangleup_{T}(\cfrac{\alpha}{1-\alpha}) \cdots⑧RC=△T(1−αα)⋯⑧
另外截止频率和低通滤波器的相同;
fc=12πRCf_c = \cfrac{1}{2\pi RC}fc=2πRC1
将⑧式代入可以得到截止频率和 α\alphaα 的关系;
fc=1−α2πα△Tf_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}}fc=2πα△T1−α
这个公式便于简化后面程序以及截止频率的计算。
simulink 仿真
这里根据公式⑥构建simulink
的子模块subsystem
;
Vout=RC(dVindt−dVoutdt)
V_{out} = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt})
Vout=RC(dtdVin−dtdVout)
具体如下所示;
整体的仿真如下图所示;
其中Sine Wave
频率设置为2*pi*40
,频率为40
赫兹;
其中Sine Wave1
频率设置为2*pi*4
,频率为4
赫兹;
所以这里需要使得2*pi*4
的信号衰减,所以根据,截止频率 fcf_cfc 的计算公式,可以改变增益的值,具体如下所示;
这里RC
增益为0.005
,因此
fc=12πRC=12π∗0.005≈31.8f_c = \cfrac{1}{2\pi RC} = \cfrac{1}{2\pi *0.005} \approx 31.8fc=2πRC1=2π∗0.0051≈31.8
simulink 运行结果
matlab 实现
matlab
根据以下这个公式进行数字滤波器的设计;
yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})
yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
另外 α\alphaα 的值如何确定需要参考⑧式;
Serial = 0:0.1:100;
Fs = 1;
Phase = 0;
Amp = 1;
N0 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X0 = Amp*sin(N0);
subplot(4,1,1);
plot(X0);
Fs = 0.02;
N1 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X1 = Amp*sin(N1);
subplot(4,1,2);
plot(X1);
X2=X0+X1;
subplot(4,1,3);
plot(X2);
len = length(X2);
X3=X2;
p=0.75;
for i=2:len
X3(i) = p*X3(i-1)+p*(X2(i)- X2(i-1))
end
subplot(4,1,4);
plot(X3);
简单地分析一下,代码中的X1
,X2
,X3
;
- X1频率为
1
- X2频率为
0.02
{α=p=0.75△T=0.1fc=1−α2πα△T \begin{cases}
\alpha = p=0.75 \\
\bigtriangleup_{T} = 0.1 \\
f_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧α=p=0.75△T=0.1fc=2πα△T1−α
因此可以得到截止频率如下;
fc=0.252π∗0.75∗0.1≈0.53f_c=\cfrac{0.25}{2\pi *0.75* 0.1} \approx 0.53fc=2π∗0.75∗0.10.25≈0.53
matlab 运行结果
C语言实现
typedef struct
{
int16_t Input[2];
int16_t Output[2];
int32_t FilterTf;
int32_t FilterTs;
int32_t Ky;
} high_filter;
void high_filter_init(high_filter *v);
int16_t high_filter_calc(high_filter *v);
其中;
-
FilterTs
为采样时间 △T\bigtriangleup_{T}△T; -
FilterTf
为RC
时间常数; -
Input[0]
表示 xix_ixi; -
Input[1]
表示 xi−1x_{i-1}xi−1; -
Output[0]
表示 yiy_iyi; -
Output[1]
表示 yi−1y_{i-1}yi−1; -
Ky
表示RCRC+△T\cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}RC+△TRC;
参考公式如下所示;
void high_filter_init(high_filter *v){
v->Ky = v->FilterTf*1024/(v->FilterTs + v->FilterTf);
}
int16_t high_filter_calc(high_filter *v){
int32_t tmp = 0;
tmp = ((int32_t)v->Ky*v->Output[1] + v->Ky*(v->Input[0] - v->Input[1]))/1024;
if(tmp>32767){
tmp = 32767;
}
if( tmp < -32768){
tmp = -32768;
}
v->Output[0] = (int16_t)tmp;
v->Output[1] = v->Output[0];
v->Input[1] = v->Input[0];
return v->Output[0];
}