一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

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HPF 一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

LPF 一阶RC低通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

预备知识

高通滤波器(HPF-high pass filter)可以滤除频率低于截止频率的信号,类似的还有低通滤波器,带通滤波器,带阻滤波器。一阶RC高通滤波器的电路如下图所示;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

关于电容

首先对电容的几个公式做一下补充;

电容大小CCC满足;

C=qV⋯①
C=\cfrac{q}{V} \cdots①
C=Vq​⋯①

其中 qqq 是电容所带的电荷量,VVV 是电容两端的电势差;

另外,电流相当于单位时间流过导体的电荷量;因此电流 iii 满足;

i=dqdt⋯② i = \cfrac{dq}{dt}\cdots②i=dtdq​⋯②

根据①,②可以得到电容大小 CCC 和电容的电流 iii 以及两端电压 VVV 的关系;

i(t)=Cdv(t)dti(t) = C\cfrac{dv(t)}{dt}i(t)=Cdtdv(t)​

HPF的推导

由以上电路可知,假设电流为 i(t)i(t)i(t),则可知

{Vout=Ri(t)⋯③i(t)=CdQc(t)dt⋯④
\begin{cases}
V_{out} = Ri(t) \cdots③ \\
i(t) = C\cfrac{dQ_c(t)}{dt} \cdots④\\
\end{cases}
⎩⎨⎧​Vout​=Ri(t)⋯③i(t)=CdtdQc​(t)​⋯④​

电容两端的电压为 Vc(t)V_c(t)Vc​(t) 根据基尔霍夫定律,满足;

−Vin+VC+Vout=0-V_{in} + V_C + V_{out} = 0−Vin​+VC​+Vout​=0

所以结合①,③,④可以得到;

Qc(t)=C(Vin(t)−Vout(t))⋯⑤Q_c(t) = C( V_{in}(t) - V_{out}(t)) \cdots ⑤Qc​(t)=C(Vin​(t)−Vout​(t))⋯⑤

根据 ③,④,⑤ 可以得到以下关系;

Vout=C(dVindt−dVoutdt)⏞I(t)R=RC(dVindt−dVoutdt)⋯⑥
V_{out} = \overbrace{ C( \cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) }^{I(t)} R = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) \cdots ⑥
Vout​=C(dtdVin​​−dtdVout​​)​I(t)​R=RC(dtdVin​​−dtdVout​​)⋯⑥

将方程进行离散化,如果输入VinV_{in}Vin​和输出输入VoutV_{out}Vout​按照 △T\bigtriangleup_{T}△T​的时间采样,那么可以将输入和输出序列化,则

VinV_{in}Vin​序列化为:

(x1,x2,x3⋯ ,xn−1,xn)(x_{1},x_{2},x_{3}\cdots,x_{n-1},x_{n})(x1​,x2​,x3​⋯,xn−1​,xn​)

VoutV_{out}Vout​序列化为:

(y1,y2,y3⋯ ,yn−1,yn)(y_{1},y_{2},y_{3}\cdots,y_{n-1},y_{n})(y1​,y2​,y3​⋯,yn−1​,yn​)

根据⑥式可以进行离散化,因此最终滤波输出的序列 yiy_{i}yi​ 如下所示;

yi=RC(xi−xi−1△T−yi−yi−1△T)⋯⑦
y_{i} = RC(\cfrac{x_{i}-x_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} -\cfrac{y_{i}-y_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} )\cdots⑦
yi​=RC(△T​xi​−xi−1​​−△T​yi​−yi−1​​)⋯⑦

将⑦再进一步简化得到;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})
yi​=αyi−1​+α(xi​−xi−1​)

其中 α=RCRC+△T\alpha = \cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}α=RC+△T​RC​

所以换成得到;

RC=△T(α1−α)⋯⑧RC = \bigtriangleup_{T}(\cfrac{\alpha}{1-\alpha}) \cdots⑧RC=△T​(1−αα​)⋯⑧

另外截止频率和低通滤波器的相同;

fc=12πRCf_c = \cfrac{1}{2\pi RC}fc​=2πRC1​

将⑧式代入可以得到截止频率和 α\alphaα 的关系;

fc=1−α2πα△Tf_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}}fc​=2πα△T​1−α​

这个公式便于简化后面程序以及截止频率的计算。

simulink 仿真

这里根据公式⑥构建simulink的子模块subsystem

Vout=RC(dVindt−dVoutdt)
V_{out} = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt})
Vout​=RC(dtdVin​​−dtdVout​​)

具体如下所示;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

整体的仿真如下图所示;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

其中Sine Wave频率设置为2*pi*40,频率为40赫兹;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

其中Sine Wave1频率设置为2*pi*4,频率为4赫兹;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

所以这里需要使得2*pi*4的信号衰减,所以根据,截止频率 fcf_cfc​ 的计算公式,可以改变增益的值,具体如下所示;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

这里RC增益为0.005,因此

fc=12πRC=12π∗0.005≈31.8f_c = \cfrac{1}{2\pi RC} = \cfrac{1}{2\pi *0.005} \approx 31.8fc​=2πRC1​=2π∗0.0051​≈31.8

simulink 运行结果

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

matlab 实现

matlab根据以下这个公式进行数字滤波器的设计;

yi=αyi−1+α(xi−xi−1)
y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})
yi​=αyi−1​+α(xi​−xi−1​)

另外 α\alphaα 的值如何确定需要参考⑧式;

Serial = 0:0.1:100;
Fs = 1;
Phase = 0;
Amp = 1; N0 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X0 = Amp*sin(N0);
subplot(4,1,1);
plot(X0); Fs = 0.02;
N1 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X1 = Amp*sin(N1);
subplot(4,1,2);
plot(X1); X2=X0+X1;
subplot(4,1,3);
plot(X2); len = length(X2);
X3=X2;
p=0.75; for i=2:len
X3(i) = p*X3(i-1)+p*(X2(i)- X2(i-1))
end subplot(4,1,4);
plot(X3);

简单地分析一下,代码中的X1X2X3

  • X1频率为1
  • X2频率为0.02

{α=p=0.75△T=0.1fc=1−α2πα△T \begin{cases}
\alpha = p=0.75 \\
\bigtriangleup_{T} = 0.1 \\
f_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​α=p=0.75△T​=0.1fc​=2πα△T​1−α​​

因此可以得到截止频率如下;

fc=0.252π∗0.75∗0.1≈0.53f_c=\cfrac{0.25}{2\pi *0.75* 0.1} \approx 0.53fc​=2π∗0.75∗0.10.25​≈0.53

matlab 运行结果

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

C语言实现

typedef struct
{
int16_t Input[2];
int16_t Output[2];
int32_t FilterTf;
int32_t FilterTs;
int32_t Ky;
} high_filter; void high_filter_init(high_filter *v);
int16_t high_filter_calc(high_filter *v);

其中;

  • FilterTs为采样时间 △T\bigtriangleup_{T}△T​;
  • FilterTfRC时间常数;
  • Input[0]表示 xix_ixi​;
  • Input[1]表示 xi−1x_{i-1}xi−1​;
  • Output[0]表示 yiy_iyi​;
  • Output[1]表示 yi−1y_{i-1}yi−1​;
  • Ky表示RCRC+△T\cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}RC+△T​RC​;

参考公式如下所示;

一阶RC高通滤波器详解(仿真+matlab+C语言实现)

void high_filter_init(high_filter *v){
v->Ky = v->FilterTf*1024/(v->FilterTs + v->FilterTf);
} int16_t high_filter_calc(high_filter *v){ int32_t tmp = 0; tmp = ((int32_t)v->Ky*v->Output[1] + v->Ky*(v->Input[0] - v->Input[1]))/1024;
if(tmp>32767){
tmp = 32767;
} if( tmp < -32768){
tmp = -32768;
} v->Output[0] = (int16_t)tmp;
v->Output[1] = v->Output[0];
v->Input[1] = v->Input[0];
return v->Output[0];
}
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