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leetcode63:63. 不同路径 II
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明 ：m 和 n 的值均不超过 100。
Example
输入：[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出：2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
solution idea
动态规划 杨辉三角公式
-
如果第一个格点
obstacleGrid[0,0]是1，说明有障碍物，那么机器人不能做任何移动，我们返回结果0。 -
否则，如果
obstacleGrid[0,0]是0，我们初始化这个值为1然后继续算法。 -
遍历第一行，如果有一个格点初始值为
1，说明当前节点有障碍物，没有路径可以通过，设值为0；否则设这个值是前一个节点的值obstacleGrid[0,j] = obstacleGrid[0,j-1]。 -
遍历第一列，如果有一个格点初始值为
1，说明当前节点有障碍物，没有路径可以通过，设值为0；否则设这个值是前一个节点的值obstacleGrid[i,0] = obstacleGrid[i-1,0]。 -
现在，从
obstacleGrid[1,1]开始遍历整个数组，如果某个格点初始不包含任何障碍物，就把值赋为上方和左侧两个格点方案数之和obstacleGrid[i,j] = obstacleGrid[i-1,j] + obstacleGrid[i,j-1]。 -
如果这个点有障碍物，设值为
0，这可以保证不会对后面的路径产生贡献。
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if(obstacleGrid.empty() || obstacleGrid[0][0]==1) return 0;
int m=obstacleGrid.size(),n=obstacleGrid[0].size();
vector<long long> row(n,0);
vector<vector<long long>>res(m,row);
res[0][0]=1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
if(obstacleGrid[0][i]==1) res[0][i]=0;
else res[0][i]=res[0][i-1];
}
for(int j=1;j<m;j++)
{
if(obstacleGrid[j][0]==1) res[j][0]=0;
else res[j][0]=res[j-1][0];
}
for(int i=1;i<m;i++)
for(int j=1;j<n;j++)
{
if(obstacleGrid[i][j]==1) res[i][j]=0;
else res[i][j]=res[i][j-1]+res[i-1][j];
}
return res[m-1][n-1];
}
};
动态规划
基本思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
适用条件
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最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
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无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
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子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。
参考文献
- c++ prime 第5版