计算pi的同情的数字背景是什么？

我知道SymPy在后台使用mpmath,这使得可以使用任意精度算法执行计算.这样,一些特殊的常量,如e,pi,oo,被视为符号,可以用任意精度进行评估.

但Sympy如何确定任意数量的小数位？ Sympy如何在数字上做到这一点？

解决方法:

mpmath使用Chudnovsky公式(https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm)计算pi.

Pi由无穷大系列近似,其项减少如(1/151931373056000)^ n,因此每个项大约增加14.18位.这使得容易选择多个项N,从而实现期望的精度.

实际计算是用整数运算完成的：即,对于预比特的精度,计算pi * 2 ^(prec)的近似值.

这是从mpmath / libmp / libelefun.py(https://github.com/fredrik-johansson/mpmath/blob/master/mpmath/libmp/libelefun.py)中提取的代码：

# Constants in Chudnovsky's series
CHUD_A = MPZ(13591409)
CHUD_B = MPZ(545140134)
CHUD_C = MPZ(640320)
CHUD_D = MPZ(12)

def bs_chudnovsky(a, b, level, verbose):
    """
    Computes the sum from a to b of the series in the Chudnovsky
    formula. Returns g, p, q where p/q is the sum as an exact
    fraction and g is a temporary value used to save work
    for recursive calls.
    """
    if b-a == 1:
        g = MPZ((6*b-5)*(2*b-1)*(6*b-1))
        p = b**3 * CHUD_C**3 // 24
        q = (-1)**b * g * (CHUD_A+CHUD_B*b)
    else:
        if verbose and level < 4:
            print("  binary splitting", a, b)
        mid = (a+b)//2
        g1, p1, q1 = bs_chudnovsky(a, mid, level+1, verbose)
        g2, p2, q2 = bs_chudnovsky(mid, b, level+1, verbose)
        p = p1*p2
        g = g1*g2
        q = q1*p2 + q2*g1
    return g, p, q

@constant_memo
def pi_fixed(prec, verbose=False, verbose_base=None):
    """
    Compute floor(pi * 2**prec) as a big integer.
    This is done using Chudnovsky's series (see comments in
    libelefun.py for details).
    """
    # The Chudnovsky series gives 14.18 digits per term
    N = int(prec/3.3219280948/14.181647462 + 2)
    if verbose:
        print("binary splitting with N =", N)
    g, p, q = bs_chudnovsky(0, N, 0, verbose)
    sqrtC = isqrt_fast(CHUD_C<<(2*prec))
    v = p*CHUD_C*sqrtC//((q+CHUD_A*p)*CHUD_D)
    return v

这只是普通的Python代码,除了它依赖于一个额外的函数isqrt_fast()来计算一个大整数的平方根. MPZ是使用的大整数类型：如果可用则为gmpy.fmpz,否则为Python的内置长类型. @constant_memo装饰器缓存计算的值(在数值计算中通常需要重复pi,因此存储它是有意义的).

您可以看到它通过执行基数转换来计算pi,如下所示：

>>> pi_fixed(53) * 10**16 // 2**53
mpz(31415926535897932)

使Chudnovsky公式快速运行的关键技巧称为二进制分裂.无穷级数中的项满足小系数的递归关系(递归方程可以在bs_chudnovsky函数中的b-a == 1情况下看到).不是按顺序计算术语,而是将总和重复分成两半;递归地评估这两半,并将结果组合.最后,一个具有两个大整数p和q,使得该系列的前N个项的和恰好等于p / q.请注意,二进制分割过程中没有舍入误差,这是算法的一个非常好的特性;唯一的舍入发生在计算平方根并在最后进行除法时.

计算pi到高精度的大多数快速程序使用非常类似的策略,尽管有一些复杂的技巧可以进一步加快进程.

(注意：我是代码的作者.)