NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

合唱队形解题报告

2016-05-12   430——645

NOIP200407合唱队形

难度级别:A; 运行时间限制:1000ms; 运行空间限制:256000KB; 代码长度限制:2000000B

试题描述

N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
    合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1,2…,K,他们的身高分别为T1,T2,…,TK,则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
    你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入

第一行是一个整数N(2<=N<=100),表示同学的总数。第一行有n个整数,用空格分隔,第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出

包括一行,这一行只包含一个整数,就是最少需要几位同学出列。

输入示例

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出示例

4

其他说明

数据范围:n<=100。

 

代码:

 #include<iostream>

 using namespace std;

 int b[],c[],a[];

 //    分别定义了三个数组:数组a(用来储存输入数据),数组b(用来存储从a[1]到a[n]的最大严格上升子序列长度),数组c(用来存储从a[n]到a[1]的最大严格下降子序列长度)

 int main()

 {

     int n,ans=,i,j;

     scanf("%d",&n);//输入

     for(i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

     b[]=;

 for(i=;i<=n;i++)

 //从a[2]开始求最大严格上升子序列长度

        {

         b[i]=;

         for(j=;j<i;j++)

             if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+);

             //如果a[i]>a[j],则可能从a[1]到a[i]的最大严格上升子序列长度又增加了1。

     }

 c[n]=;

 //从a[n]开始求最大严格上升子序列长度

     for(i=n-;i>=;i--)

        {

         c[i]=;

         for(j=n;j>i;j--)

             if(a[i]>a[j]) c[i]=max(c[i],c[j]+);

             //如果a[i]<a[j],则可能从a[i]到a[n]的最大严格上升子序列长度又增加了1。

     }

     for(i=;i<=n;i++)

         if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];//更新答案

     printf("%d",n-ans+);//输出

 }

《合唱队形》这道题其实就是《求最长下降/上升子序列》的翻版。但如果用循环直接搜固然很难办,而且不知道会用多长时间,所以,简单动态规划的思想很容易办到。

b[i]=1;

这句赋值语句固然很好理解,每一个元素,也可以视为一个符合题意的子序列,不论是最长上升、最长下降。所以从a[1]

a[i]的符合题意的子序列必将有一个。比如有如下一组数。

NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

b[1]  1,原因如上。

b[2]呢?如图,它显然比a[1]高,在执行如下语句时

for(j=1;j<i;j++)   if(a[i]>a[j])

j小于i,也就是2,目前符合条件的只有a[1]a[1]又通过了判断语句,它确实小于a[i],执行下一条语句:

b[i]=max(b[i],b[j]+1);

b[2]显然原来是1,当它和b[1]+1比时,1当然比2小,所以,b[2]自然就是2了。由此,这个方法只需要一维数组就行了。、

NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

O(nlogn)的方法,将下次介绍。这样的方法的时间复杂度为O(n^2)

NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解
b[1]=1;

解决完了这个问题,这道题就非常简单了,先从下往上搜一遍最长上升子序列,代码如下:

for(i=2;i<=n;i++)

       {

        b[i]=1;

        for(j=1;j<i;j++)

            if(a[i]>a[j])
b[i]=max(b[i],b[j]+1);

}

NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

再反着从上往下搜一下最长上升子序列:

NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

这段代码一定就很好理解了:

for(i=1;i<=n;i++)

        if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];

一直更新ans,要求出队人数最少,自然要让保留人数最多。

最后输出n-ans+1

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