前言

比例性质

• 合比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a+b}{b}=\cfrac{c+d}{d}\)，其中\(b，d\neq 0\)；

• 分比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a-b}{b}=\cfrac{c-d}{d}\)，其中\(b，d\neq 0\)；

• 合分比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{c+d}{c-d}\)，其中\(b，d，a-b，c-d\neq 0\)；

• 更比定理

如果\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\)，那么\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}\)，其中\(a，b，c，d\neq 0\)；

应用举例

例1在\(\triangle ABC\)中，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}\)；

证明：引入非零比例因子，如\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R\)，

则\(a=2RsinA\)，\(b=2RsinB\)，\(c=2RsinC\)，代入上式右端，得到

\(\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}=\cfrac{2R(sinA+sinB-sinC)}{sinA+sinB-sinC}=2R=\cfrac{a}{sinA}\)；

故在\(\triangle ABC\)中，\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{a+b-c}{sinA+sinB-sinC}\)成立；