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买卖股票的最佳时机
描述
简单
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
解题
前 i 天最大收益 = max(前 i-1 天的最大收益, 第 i 天的价格-前 i-1 天中的最小价格)
# python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) <= 1:
return 0
max_profit = 0
min_price = prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
max_profit = max(max_profit, prices[i] - min_price)
min_price = min(min_price, prices[i])
return max_profit
// java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length <= 1) return 0;
int minPrice = prices[0];
int profit = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
profit = Math.max(profit, prices[i] - minPrice);
minPrice = Math.min(minPrice, prices[i]);
}
return profit;
}
}
买卖股票的最佳时机II
描述
简单
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 40 <= prices[i] <= 10 ^ 4
解题
这题和上一题的区别是：
上一题只能买卖一次
这一题可以买卖多次
但是，买了之后不能连续再买，必须卖了之后才能继续买
好像，当天卖出后还可以当天买入
那么只需要今天价格比昨天高，就可以昨天买入今天卖出
# python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
max_profit = 0
for i in range(1, len(prices)):
if prices[i] > prices[i - 1]:
max_profit += prices[i] - prices[i - 1]
return max_profit
// java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int profit = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
profit += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return profit;
}
}
动态规划
在每一天都有两种状态，要么没有持有股票，要么买了股票持有状态
-
没有持有股票时，可能是当天卖出或者昨天也不持有
-
持有股票时，可能时当天买入或者昨天也持有
-
取最后一天没有持有股票时的收益
建立二维数据
-
dp[i][0]表示第i天不持有股票时收益- 表示为昨天也不持有股票，或者当天卖出并得到了当天的价格
-
dp[i][1]表示第i天持有股票时的收益- 表示为昨天也持有股票，或者当天买入
# python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) <= 1:
return 0
n = len(prices)
dp = [[0] * 2 for _ in range(n)]
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0] # 一开始买了股票，收益为第0天价格的负数
for i in range(1, n):
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
return dp[n - 1][0]
// java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][0];
}
}
买卖股票的最佳时机III
描述
困难
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 105
解题
按照第二题动态规划思路
设置三维数组
-
第一维仍表示第
i天 -
第二维表示交易了几次，题目是最多完成两次交易，所以交易数可以为0，1或者2
-
第三维表示是否持有股票
-
取最后一天进行了0、1和2次交易后的未持有股票时的收益的最大值
# python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [[[0] * 2 for i in range(3)] for j in range(len(prices))]
for i in range(3):
dp[0][i][0] = 0
dp[0][i][1] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
for j in range(3):
if j == 0:
dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0]
else:
dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i])
dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i])
return max(dp[-1][0][0], dp[-1][1][0], dp[-1][2][0])
// java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][][] dp = new int[prices.length][3][2];
for (int i = 0; i < 3; i++) {
dp[0][i][0] = 0;
dp[0][i][1] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
if (j == 0) {
dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0];
} else {
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j - 1][1] + prices[i]);
}
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j][0] - prices[i]);
}
}
return Math.max(Math.max(dp[prices.length - 1][0][0], dp[prices.length - 1][1][0]), dp[prices.length - 1][2][0]);
}
}
当然，题目要求最多两次交易，可以考虑用4个变量
- 第一次买入可获得的收益
- 第一次卖出可获得的收益
- 第二次买入可获得的收益
- 第二次卖出可获得的收益
# python
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
first_buy = -prices[0]
first_sell = 0
second_buy = -prices[0]
second_sell = 0
for price in prices:
first_buy = max(first_buy, -price)
first_sell = max(first_sell, first_buy + price)
second_buy = max(second_buy, first_sell - price)
second_sell = max(second_sell, second_buy + price)
return second_sell
// java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int firstBuy = -prices[0];
int firstSell = 0;
int secondBuy = -prices[0];
int secondSell = 0;
for (int price : prices) {
firstBuy = Math.max(firstBuy, -price);
firstSell = Math.max(firstSell, firstBuy + price);
secondBuy = Math.max(secondBuy, firstSell - price);
secondSell = Math.max(secondSell, secondBuy + price);
}
return secondSell;
}
}