RSA是目前使用最广泛的公钥密码*之一。它是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
RSA算法的安全性基于RSA问题的困难性，也就是基于大整数因子分解的困难性上。但是RSA问题不会比因子分解问题更加困难，也就是说，在没有解决因子分解问题的情况下可能解决RSA问题，因此RSA算法并不是完全基于大整数因子分解的困难性上的。
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1.欧拉函数

什么是欧拉函数
　　欧拉函数是小于x的整数中与x互素的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1.
如何计算欧拉函数
　　通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有素因数，n是不为0的整数.
欧拉函数的一些性质　　
　　1. 对于素数p，φ§=p−1　　2. 若p为素数，n=p^{k，则φ(n)=p}k-p^(k-1) 　　3. 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数；若m,n互素，则φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2n)=φ(n)　　4. 当n>2时，φ(n)是偶数　　5. 小于n的数中，与n互素的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)　　6. n=∑d∣n​φ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

欧拉定理

欧拉定理是指：如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立：

即a的φ(n)次方减去1，可以被n整除. 比如，3和4互质，φ(4)=2，(3^2-1)/4=2. 当a为正整数，n为素数且a不能被n整除时，则有　　　　　　　　　　　a^(n-1) ≡ 1 (mod n)这就是费马小定理.

模反元素

如果两个正整数a和n互素，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1. 这时，b就叫做a对模数n的模反元素.

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在，如下图，可以看到：a的 φ(n)-1 次方，就是a对模数n的模反元素.

RSA算法

5.1 密钥的生成过程

1. 随意选择两个大的素数p和q，p不等于q，计算n = pq.
2. 根据欧拉函数的性质3，求得r=φ(n)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1).
3. 选择一个小于r的整数e,且e与r互素；并求得e关于r的模反元素，命名为d.(模反元素存在，当且仅当e与r互质; 求d令ed≡1(mod r)）
4. 将p和q的记录销毁
   　　其中(n，e)是公钥，(n，d)是私钥. 例如：
5. A随机选两个不相等的质数61和53，并计算两数的积n=61*53=3233，n的长度就是密钥长度。3233的二进制是110010100001，一共12位，
   所以这个密钥就是12位. 实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要的场合是2048位.
6. 计算n的欧拉函数; φ(n)=(p-1)(q-1)=60*52=3120.
7. A在1到3120上随机选择了一个随机数e=17，与3120互素.
8. 计算e对φ(n)的模反元素d，即时，ed-1=kφ(n)。
   即使求解：17x+3120y=1.用扩展欧几里得算法求解。可以算出一组解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753. 公钥(3233, 17)，私钥(3233,2753)
   　　至此完成计算.5.2 RSA的可靠性　　　　在RSA私钥和公钥生成的过程中，共出现过p,q,n,φ(N),e,d，其中n,e组成公钥，其他的都不是公开的，一旦d泄露，就等于私钥泄露;　　那么能不能根据n,e推导出d呢？　　　　1. ed ≡ 1(mod φ(n)) 只有知道e和φ(n)，才能算出d 　　　　2. φ(n)=(p-1)(q-1) 只有知道p和q,才能算出φ(n）　　　　3. n=pq,只有将n分解才能算出p和q　　所以，只有将n素因数分解，才能算出d; 也就意味着私钥破译. 但是，大整数的质因数分解是非常困难的. 所以理论上来说，如果我们找到　　了快速对大整数进行质因数分解的方法，那么RSA加密也就没什么安全性可言了；遗憾的是，目前数学上并没有找到这样快速的质因数分解方法.5.3 RSA的加密过程　　　　假设A要向B发送加密信息m，他就要用B的公钥(n,e)对m进行加密，但m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小　　于n. 所谓加密就是计算下式的c:　　　　m^e ≡ c (mod n)　　假设m=65,B的公钥(3233,17),所以等式如下：　　　　65^17≡2790（mod 3233）　　所以c等于2790，A就把2790发给B.5.4 RSA的解密过程　　　　B收到A发来的2790后，就用自己的私钥(3233,2755)进行解密　　　　　 c^d ≡ m (mod n)　　也就是c的d次方除以n的余数就是m　　　　　　2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)　　因此得到原文65.

C语言代码

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#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
int xy[22];
int myPow(int a, int b, int m) {
    int res = 1;
    a %= m;
    while (b != 0) {
    if ((b & 1) == 1)
    	res = (res * a) % m;
        a = (a * a) % m;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}


int calculate(int h,int p,int q){
	int a = (p-1)/q;
	int k=1;
	for(int i = 0;i<a;i++){
		k=k*h;
	}
	return k%p;
}
int calculate1(int g,int x,int p){
	int k=1;
	for(int i = 0;i<x;i++){
		k=k*g;
	}
	return k%p; 

} 
// 求 a mod b 的逆元
void exGcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        xy[0] = 1;
        xy[1] = 0;
    } else {
        exGcd(b, a % b);
        int x = xy[0];
        xy[0] = xy[1];
        xy[1] = x - (a / b) * xy[1];
    }
}
main()
{
	int p,q,g,x,y,s,k,m,w,u1,u2,v,h,r;
	//初始化 
	printf("请输入大素数 p和q ,且满足（p-1)能够被q整除");
	scanf("%d%d",&p,&q);//素数p和q 
	srand(time(NULL)); //随机数种子
	h=12;//rand()%p-1+2 ;//随机数 
	g=calculate(h,p,q); 
	x=10;//rand()%p-1+2 ;//私钥 
	y=calculate1(g,x,p);//计算公钥 
	printf("公钥是(%d,%d,%d,%d)\n",p,q,g,y);
	printf("私钥为%d\n",x);
	
	//签名过程 
	k=9;//rand()%p-1+2 ;//随机数k 
	r=calculate1(g,k,p)%q;	
	exGcd(k, q);
	k = xy[0];
    if(k < 0) k += (p-1);  
	m=13;
	s=(m+x*r)*k%q;
	printf("签名为(%d,%d)\n",r,s);
	
	//验证
	exGcd(s,q);
	w =xy[0];
	if(w < 0) w += (q);
	u1=(m*w)%q;
	u2=r*w%q;
	v=myPow(g, u1, p)*myPow(y, u2, p)%p%q;
	printf("(w,u1,u2,v)=(%d,%d,%d,%d)\n",w,u1,u2,v);
	if(v==r){
		printf("接受");
	}else{
		printf("不接受");
	}
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
}