题目大意
有一个网格（或者你可以认为这是一个图），每个点都有颜色 \(c_i\) 和点权 \(a_i\)。
求最小的连通块，满足这个连通块内点的颜色数量 \(\geq k\)。在满足点数最少的前提下，要求点权的中位数最少。
\(n\leq 233,c_i\leq n,k\leq 5\)
题解
如果 \(c_i\) 很小，就可以直接用斯坦纳树做。
本题要求在满足点数最少的前提下，要求点权的中位数最少。那么可以二分中位数 \(s\)，将 \(a_i\leq s\) 的点的权值设为 \(M-1\)，\(a_i>s\) 的点的权值设为 \(M+1\)，其中 \(M\) 是一个很大的数。这样就可以在满足点数最小的前提下求出最小中位数是否 \(\leq s\)。
还有一个问题是 \(c_i\) 比较大。我们可以把每一种颜色随机映射到 \([1,k]\) 中，当答案的 \(k\) 种颜色映射到 \([1,k]\) 中不同的值的时候就能求出正确答案。求一次正确的概率是 \(\frac{k!}{k^k}\)，多求几次就好了。
时间复杂度：\(O(T(3^kn+2^kn\log n)\log n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int inf=0x3fffffff;
const int N=300;
int _n,_m;
int n,k;
int t;
int a[N],c[N],d[N],e[N],b[N],vis[N];
int a2[N],c2[N];
int f[1<<5][N];
vector<int> g[N];
pii ans;
queue<pii> q1,q2,q3;
//priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
int id(int x,int y)
{
return (x-1)*_m+y;
}
vector<pii> h;
int check(int v)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]<=v)
a2[i]=100000-1;
else
a2[i]=100000+1;
for(int i=0;i<1<<k;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=inf;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(c2[i]!=-1)
f[1<<(c2[i]-1)][i]=0;
for(int i=1;i<1<<k;i++)
{
for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)
for(int l=1;l<=n;l++)
f[i][l]=min(f[i][l],f[j][l]+f[i^j][l]);
h.clear();
for(int j=1;j<=n;j++)
{
h.push_back(pii(f[i][j],j));
vis[j]=0;
}
sort(h.begin(),h.end());
for(int i=0;i<n;i++)
q3.push(h[i]);
while(!q1.empty()||!q2.empty()||!q3.empty())
{
pii x;
if(!q1.empty()&&(q2.empty()||(q1.front()<=q2.front()))&&(q3.empty()||(q1.front()<=q3.front())))
{
x=q1.front();
q1.pop();
}
else if(!q2.empty()&&(q1.empty()||(q2.front()<=q1.front()))&&(q3.empty()||(q2.front()<=q3.front())))
{
x=q2.front();
q2.pop();
}
else
{
x=q3.front();
q3.pop();
}
if(vis[x.second])
continue;
vis[x.second]=1;
f[i][x.second]=min(f[i][x.second],x.first);
x.first+=a2[x.second];
// for(auto v:g[x.second])
for(vector<int>::iterator it=g[x.second].begin();it!=g[x.second].end();it++)
{
int v=*it;
if(!vis[v])
{
if(a2[x.second]==100000-1)
q1.push(pii(x.first,v));
else
q2.push(pii(x.first,v));
}
}
}
}
int res=inf;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(c2[i]!=-1)
{
f[(1<<k)-1][i]+=a2[i];
res=min(res,f[(1<<k)-1][i]);
}
return res;
}
void gao()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=rand()%k+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(c[i]!=-1)
c2[i]=b[c[i]];
else
c2[i]=-1;
int l=1,r=t;
int temp=check(1);
if(temp==inf)
return;
int v=(int)round((db)temp/100000);
if(v>ans.first)
return;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
temp=check(mid);
if(temp<=(int)round((db)temp/100000)*100000)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
ans=min(ans,pii(v,l));
}
void solve()
{
scanf("%d%d%d",&_n,&_m,&k);
n=_n*_m;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&c[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
d[i]=a[i];
}
sort(d+1,d+n+1);
t=unique(d+1,d+n+1)-d-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=lower_bound(d+1,d+t+1,a[i])-d;
for(int i=1;i<=n;i++)
g[i].clear();
for(int i=1;i<=_n;i++)
for(int j=1;j<=_m;j++)
if(c[id(i,j)]!=-1)
{
if(i>1&&c[id(i-1,j)]!=-1)
g[id(i,j)].push_back(id(i-1,j));
if(i<_n&&c[id(i+1,j)]!=-1)
g[id(i,j)].push_back(id(i+1,j));
if(j>1&&c[id(i,j-1)]!=-1)
g[id(i,j)].push_back(id(i,j-1));
if(j<_m&&c[id(i,j+1)]!=-1)
g[id(i,j)].push_back(id(i,j+1));
}
ans=pii(inf,inf);
for(int times=200;times;times--)
gao();
if(ans.first==inf)
printf("-1 -1\n");
else
printf("%d %d\n",ans.first,d[ans.second]);
}
int main()
{
srand(19260817);
open("chocolate");
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}z