【BZOJ1856】[SCOI2010]字符串（组合数学）

题面

BZOJ

洛谷

题解

把放一个\(1\)看做在平面直角坐标系上沿着\(x\)正半轴走一步，放一个\(0\)看做往\(y\)轴正半轴走一步，最终的重点就是\((n,m)\)，限制就是不能到达\(y=x\)上面的部分。

发现这样不好算，我们先考虑一个另外的情况，即\(y=x\)这个部分也不能到达。

首先发现如果第一步走到了\((0,1)\)，那么方案一定都不合法。

只考虑第一步走到了\((1,0)\)的情况，那么总的方案数就是\(C(n+m-1,n-1)\)

然而有触碰到了\(y=x\)的情况，我们考虑这条路径第一次碰到\(y=x\)的时候，然后把前面的所有路径沿着\(y=x\)翻转，这样子不难发现所有不合法的情况都一一对应到了从\((0,1)\)出发的情况。

所以在\(y=x\)不能接触的情况下，方案数是\(C(n+m-1,n-1)-C(n+m-1,m-1)\)

现在考虑可以接触\(y=x\)，简单啊，我们强制你多往右走一步，变成不能接触\(y=x\)就好了啊。

即\(n\)变成\(n+1\)，那么答案就是\(C(n+m,n)-C(n+m,m-1)\)

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

#define MOD 20100403

#define MAX 1001000

int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}

int n,m;

int C(int n,int m)

{

	int s=1,d=1;

	for(int i=n;i>m;--i)s=1ll*s*i%MOD;

	for(int i=n-m;i;--i)d=1ll*d*i%MOD;

	return 1ll*s*fpow(d,MOD-2)%MOD;

}

int main()

{

	cin>>n>>m;

	cout<<(C(n+m,m)+MOD-C(n+m,m-1))%MOD<<endl;

	return 0;

}