题链

分析

显然容斥
考虑有i个有1个或者有0个的情况放到j个非空集合中的方案
可以发现0很麻烦，所以不妨把0的放到一个垃圾集合中，然后把向垃圾集合中加0表示是垃圾集合
问题变成了i+1个数放到j+1个非空集合的方案，即为第二类斯特林数
统计即可

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;

const int N=3005;
int n,p,s[N][N];
int ksm(ll a,int b,int p) {
	ll ret=1;
	while(b) {
		if(b&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p,b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main() {
	cin>>n>>p;
	s[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++) {
		for(int j=0;j<=i;j++) {
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(ll)j*s[i-1][j])%p;
		}
	}
	int c=1,ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		int sum=0; int t=ksm(2,n-i,p),tt=1;
		for(int j=0;j<=i;j++) {
			sum=(sum+(ll)s[i+1][j+1]*tt)%p;
			tt=(ll)tt*t%p;
		}
		sum=(ll)sum*c%p*ksm(2,ksm(2,n-i,p-1),p)%p;
		if(i&1) ans=(ans+p-sum)%p;
			else ans=(ans+sum)%p;
		c=(ll)c*(n-i)%p*ksm(i+1,p-2,p)%p;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}