结论

已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) ，若直线 \(l\) 与椭圆相交于 \(A,B\) 两点，\(M\) 为 \(AB\) 中点，则 \(k_{OM}k_{AB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\) .

证明

设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 代入椭圆方程得\[\begin{cases}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1 \\[1ex] \dfrac{x_2^2} {a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{cases}\]两式相减得\[\dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0\Longrightarrow\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}=-\dfrac{b^2}{a^2}\]因为 \(M\) 为 \(AB\) 的中点，所以\[k_{OM}=\dfrac{\dfrac{y_1+y_2}{2}-0}{\dfrac{x_1+x_2}{2}-0}=\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\]所以 \(k_{OM}k_{AB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\) .

推论

如图，若点 \(A\) 关于原点对称的点为 \(A^{’}\) ，由三角形中位线定理得 \(OM//BA^{'}\) ，所以\[k_{BA}k_{BA^{'}}=-\dfrac{b^2}{a^2}\]