第一节、中值定理

一、引导知识

1.极值点的概念

（1）设 $y=f(x)(x \in D), x_{0} \in D$, 若存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, 有 $f(x)<$ $f\left(x_{0}\right)$, 则称 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的极大值点.
（2）设 $y=f(x)(x \in D), x_{0} \in D$, 若存在 $\delta>0$, 当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时, 有 $f(x)>$ $f\left(x_{0}\right)$, 则称 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的极小值点.

极大值点和极小值点统称为极值点.

2.讨论 $f^{\prime}(a)$ 的两种情况

结论1：设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取极值,则 $f^{\prime}(a)=0$ 或 $f^{\prime}(a)$ 不存在, 反之不对.

结论2：设 $f(x)$ 可导且在 $x=a$ 处取极值,则 $f^{\prime }(a)=0$.反之不对.

二、中值定理

1.罗尔定理

定理1：设 $f(x) \in C[a, b]$, 在 $(a, b)$ 内可导, $f(a)=f(b)$, 则存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0 .$

Notes:

1.条件：闭区间连续，开区间可导
证明：$f^{\prime}(\xi)=0$
解法：$f(a)=f(b)$;

2.条件：闭区间连续，开区间可导
证明：$f^{\prime \prime}(\xi)=0$
解法：$f(a)=f(b)=f(c)$;或$f^{\prime}(\xi_{1})= f^{\prime}(\xi_{2})$;

2.拉格朗日中值定理

定理2：设 $f(x) \in C[a, b]$, 在 $(a, b)$ 内可导, 则存在 $\xi \in(a, b)$, 使得
$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .
$$

Notes:

若函数 $f(x) \in C[a, b]$, 在 $(a, b)$ 内可导,以下三种情形常使用拉格朗日值定理:
(1) 出现 $f(b)-f(a)$;
(2) 出现 $f(a), f(c), f(b)$;
(3) 出现 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 之间的关系式(也有可能使用牛顺一莱布尼兹公式).

3.柯西中值定理

设 $f(x), g(x) \in C[a, b]$, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g^{\prime}(x) \neq 0(a<x<b)$, 则存在$\xi \in(a, b)$, 使得
$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{{\prime}(\xi)}{g}{\prime}(\xi)}
$$

4.洛必达法则

5.泰勒中值定理

定理4：设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的邻域内 $n+1$ 阶可导, 则$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\frac{f}{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\frac{f{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}
$，其中 $\xi$ 介于 $x_{0}$ 与 $x$ 之间,称 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$ 为拉格朗日型余项. 余项 $R_{n}(x)$ 也 可表示为 $R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$, 称 $R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ 为佩亚诺型余项。

Notes：

1.当 $x_{0}=0$ 时, $f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)$ 称为 $f(x)$ 的麦克劳林公式

2.常用的麦克劳林公式：

(1) $\mathrm{e}^{{x}=1+x+\frac{x}{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right)$;

(2) $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right)$;

(3) $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}+o\left(x^{2 n}\right)$;

(4) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x{n}+o\left(x^{n}\right)$;

(5) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^{{2}-\cdots+(-1)}{n} x^{n}+o\left(x{n}\right)$;

(6) $\ln (1+x)=x-\frac{x^{{2}}{2}+\frac{x}{3}}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}+o\left(x{n}\right)$;

(7) $(1+x)^{a}=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x{n}\right)$;

(8) $\arctan x=x-\frac{x^{{3}}{3}+\frac{x}{5}}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right)$.

第二节、单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图

一、单调性与极值

（一）单调性与极值的概念

​ 单调性——设函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有定义, 若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ 且 $x_{1}<x_{2}$, 有 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$, 称 $f(x)$ 在区域 $D$ 上为严格的增函数; 若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ 且 $x_{1}<x_{2}$, 有 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$, 称 $f(x)$ 在区域 $D$ 上为严格的减函数.

​ 极值——设 $x_{0} \in D$, 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 左、右去心邻域的函数值小于 $f\left(x_{0}\right)$, 称 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的极大值点, $f\left(x_{0}\right)$ 称为 $f(x)$ 的极大值; 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处左、右去心邻域的函数值大 于 $f\left(x_{0}\right)$, 则 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的极小值点, $f\left(x_{0}\right)$ 称为 $f(x)$ 的极小值.

（二）单调性判别

定理：若在区间 $I$ 内有 $f^{\prime}(x)>0$, 则函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格增加; 若在区间 $I$ 内 有 $f^{\prime}(x)<0$, 则函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格椷少.

二、凹凸性与拐点

（一）基本概念

1.凹凸性的概念——设 $y=f(x)$ 定义于区问 $I$ 上，

若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in I$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$, 称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上为凸函数.

若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in I$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$, 称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上为凹函数.

2.拐点——设 $y=f(x)$ 定义于区间 $I$ 上, 若 $f(x)$ 在 $x=x$ 。两侧凹凸性不同, 称 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点.

（二）曲线山凸性判别法

定理1：
若当 $x \in I$ 时, $f^{\prime \prime}(x)>0$ (个别点除外), 则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内为凹函数;
若当 $x \in I$ 时, $f^{\prime \prime}(x)<0$ (个别点除外), 则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内为凸函数.

定理2：
设 $f(x)$ 三阶可导, 且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$, 但 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 为曲线 $y=$ $f(x)$ 的拐点.

三、渐近线

1.水平渐近线——若 $\lim f(x)=A$, 称 $y=A$ 为 $L: y=f(x)$ 的水平渐近线.

2.铅直渐近线——若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ 或 $f(a-0)=\infty$ 或 $f(a+0)=\infty$, 称 $x=a$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线.

3.斜渐近线——若$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=a(\neq 0, \infty), \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-a x]=b$, 称 $y=a x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线.

四、弧微分、曲率与曲率半径

（一）弧微分

弧微分的基本公式: $(\mathrm{d} s)^{2}=(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}$, 其中：

（1）设 L: y=f(x) , 则 $ \mathrm{d} s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x $;

（2）设 L:$\left{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \ y=\psi(t),\end{array}\right. 则 \mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t $；

（3）设 L: $r=r(\theta) , 则 \mathrm{d} s=\sqrt{r^{{2}(\theta)+r}{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$ .

（二）曲率与曲率半径

1.曲率计算公式: $k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.

2.曲率半径计算公式: $R=\frac{1}{k}$.