UA MATH564 概率论VI 数理统计基础5 F分布

假设$X \sim \chi^2_{m,\delta},Y \sim \chi^2_{n}$X∼χm,δ2​,Y∼χn2​且二者独立，则
$Z = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n,\delta}$Z=Y/nX/m​∼Fm,n,δ​
其中$\delta$δ被称为非中心参数，$\delta=0$δ=0则称$Z$Z服从中心化的F分布，简称F分布。注意到$Z$Z也是两个随机变量的商，可以用上一讲介绍的引理1计算$Z$Z的概率密度，此处省略过程：
$f(x|m,n,\delta) = e^{-\frac{\delta^2}{2}}\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\frac{\delta^2}{2})^i}{i!}n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}+i}c_i \frac{x^{\frac{m}{2}-1+i}}{(n+mx)^{\frac{m+n}{2}+i}} \\ c_i = \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2}+i)}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2}+i)}$f(x∣m,n,δ)=e−2δ2​i=0∑∞​i!(2δ2​)i​n2n​m2m​+ici​(n+mx)2m+n​+ix2m​−1+i​ci​=Γ(2n​)Γ(2m​+i)Γ(2m+n​+i)​

当$\delta=0$δ=0时，概率密度为
$f(x|m,n) = \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(n+mx)^{\frac{m+n}{2}}}$f(x∣m,n)=Γ(2n​)Γ(2m​)Γ(2m+n​)​n2n​m2m​(n+mx)2m+n​x2m​−1​
下面介绍三条性质：

性质1：$t_{n,\delta} =_d F_{1,n,\delta}$tn,δ​=d​F1,n,δ​

性质2：$X_i \sim N(a,\sigma^2),Y_j \sim N(b,\sigma^2),i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n$Xi​∼N(a,σ2),Yj​∼N(b,σ2),i=1,⋯,m,j=1,⋯,n所有的$X,Y$X,Y均互相独立，则
$Z = \frac{\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n (Y_j - \bar{Y})^2} \sim F_{m-1,n-1}$Z=n−11​∑j=1n​(Yj​−Yˉ)2m−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2​∼Fm−1,n−1​
性质3：记$X_n \sim F_{m,n,\delta}$Xn​∼Fm,n,δ​，则$X_n \to_d \frac{1}{m}\chi^2_{m,\delta}$Xn​→d​m1​χm,δ2​

性质1根据概率密度的表达式就可以证明，性质2也可以根据定义写出来。性质1的意义是说明在线性模型中，针对单个系数做t检验和做partial F检验是等价的；性质2的意义是给双正态总体的方差检验提供依据。下面证明性质3：

证明
根据定义，可以将$X_n$Xn​写成
$X_n = \frac{K/m}{Y/n} \sim F_{m,n,\delta}$Xn​=Y/nK/m​∼Fm,n,δ​

$K \sim \chi^2_{m,\delta},Y \sim \chi^2_{n}$K∼χm,δ2​,Y∼χn2​且二者独立。其中$Y/n$Y/n又可以写成
$\frac{Y}{n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j^2,Z_j \sim_{iid} N(0,1)$nY​=n1​j=1∑n​Zj2​,Zj​∼iid​N(0,1)

根据大数定律，
$\frac{Y}{n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j^2 \to_P E[Z_1^2] = 1$nY​=n1​j=1∑n​Zj2​→P​E[Z12​]=1

因此$X_n \to_d K/m \sim \frac{1}{m}\chi^2_{m,\delta}$Xn​→d​K/m∼m1​χm,δ2​
证毕