如果你做过[Luogu P3455 POI2007]ZAP-Queries就很好办了，我们发现那一题求的是\(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\gcd(i,j)=d]\)，就是这道题的特殊情况。
因此我们直接令\(\operatorname{calc}(x,y,d)\)表示\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y[\gcd(i,j)=d]\)，然后直接容斥即可：
\[ans=\operatorname{calc}(b,d,k)-\operatorname{calc}(a-1,d,k)-\operatorname{calc}(b,c-1,k)+\operatorname{calc}(a-1,c-1,k)
\]
\]
关于\(\operatorname{calc}(x,y,d)\)的求法可以看上面那题的Sol，这里不再赘述。
CODE
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define RI register int
using namespace std;
const int P=50005;
int t,a,b,c,d,k,prime[P+5],cnt,mu[P+5],sum[P+5]; bool vis[P+5];
class FileInputOutput
{
private:
#define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,S,stdin),A==B)?EOF:*A++)
#define pc(ch) (Ftop<S?Fout[Ftop++]=ch:(fwrite(Fout,1,S,stdout),Fout[(Ftop=0)++]=ch))
#define S 1<<21
char Fin[S],Fout[S],*A,*B; int Ftop,pt[25];
public:
FileInputOutput() { A=B=Fin; Ftop=0; }
inline void read(int &x)
{
x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
while (x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));
}
inline void write(long long x)
{
if (!x) return (void)(pc(48),pc('\n')); RI ptop=0;
while (x) pt[++ptop]=x%10,x/=10; while (ptop) pc(pt[ptop--]+48); pc('\n');
}
inline void Fend(void)
{
fwrite(Fout,1,Ftop,stdout);
}
#undef tc
#undef pc
#undef S
}F;
#define Pi prime[j]
inline void Euler(void)
{
vis[1]=mu[1]=1; RI i,j; for (i=2;i<=P;++i)
{
if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for (j=1;j<=cnt&&i*Pi<=P;++j)
{
vis[i*Pi]=1; if (i%Pi) mu[i*Pi]=-mu[i]; else break;
}
}
for (i=1;i<=P;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
#undef Pi
inline int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;
}
inline long long calc(int n,int m,int d)
{
long long ans=0; int lim=min(n/d,m/d);
for (RI l=1,r;l<=lim;l=r+1)
{
r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=1LL*(n/(l*d))*(m/(l*d))*(sum[r]-sum[l-1]);
}
return ans;
}
int main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
for (Euler(),F.read(t);t;--t)
{
F.read(a); F.read(b); F.read(c); F.read(d); F.read(k);
F.write(calc(b,d,k)-calc(a-1,d,k)-calc(b,c-1,k)+calc(a-1,c-1,k));
}
return F.Fend(),0;
}