幂级数的\(2\)次幂: \(c_k=\sum_{i+j=k,\\ 0\leq k \leq n} a_ib_j\) . 只要考虑: \(c_kx^k\)是怎么组成的? \(n\)次幂系数不难用相似的方法得到.

幂级数的乘积

比如多项式f的系数是[0,1,2,3,...], g的系数是[0,1.4,3^2,...]
那么来计算fg的第3,5,20次项的系数

fg5=0
fg3=0
fg20=0
for i in range(100):
    for j in range(100):
        if i+j== 3:
            fg3 +=i+j**2
        if i+j==5:
            fg5 +=i+j**2
        if i+j==20:
            fg20 +=i*j**2
        
print(fg3)
print(fg5)
print(fg20)

20
70
13300

import math
def compute(rang1,rang2,term): #第一个多项式的次数,第二个多项式的次数, 第几项
    print(term)
    coe =0
    coe = int(coe)
    for i in range(rang1): 
        for j in range(rang2):
            if i+j == term:
                coe += coef(i,j) #计算两个项系数的乘积
    return int(coe)        
def coef(i,j): #定义两个多项式系数是怎样的, i,j都是幂次
#这里自己定义一下
    ith_coe_of_f =  #应该是i的一个函数
    ith_coe_of_g =  #应该是j的一个函数
    return int(ith_coe_of_f)*int(ith_coe_of_g)

print(compute(1000,1000,20))#这里自己定义一下
    
    
    

20
210

上面两个计算的一致验证了第二个程序的有效

特征多项式是一个连续函数

证明:用\(n^2\)范数,就是矩阵的范数.

设$A(t)=\det(A)=a_{11}A_{11}+...a_{1n}A_{1n} $
$B(t)=\det(B)=b_{11}B_{11}+...b_{1n}B_{1n} $
对n进行归纳
\(n=1\)时, \(|\det(A)-\det(B)||=||A-B||\to 0\).这时候\(A,B\)其实是两个数

假设\(n-1\)时命题成立, 那么对任意\(\epsilon>0\),当\(||A_i-B_i||,i=1,2,3...\)充分小,有每个余子式 \(||A_{11}-B_{11}||<\epsilon, ||A_{12}-B_{12}||<\epsilon...\). 所以,由三角不等式,\(A(t)\)和\(B(t)\)的距离也充分小. 注意到范数都是正数, 所以不用担心正负号对控制\(||A(t)-B(t)||\)大小的影响.\(\square\).

隐函数

对\(f(x,y,z)\)求在\((x_0,y_0)\)处的方向导数. 得到 $ f_x(x,y,z)(x-x_0)+f_y(x,y,z)(y-y_0)+f_z(x,y,z)(z-z_0)=0$.
这是求一个曲面的切平面的一般方法. 可以看到, 这里把曲面看做是方程为 \(f(x,y,z)=0\) 的集合.
对\(z=f(x,y)\Rightarrow f_z=-1\)的情况, 这个方程也显然适用.
这个方程是对x,y,z都求了偏导数.

可能是隐函数定理.不知道有没有用微分的办法简单理解这个事实的办法.