集合计数
题目描述
一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）
输入格式
一行两个整数N,K
输出格式
一行为答案。
样例
样例输入
3 2样例输出
6数据范围与提示
样例说明
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
数据说明
对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；
题解
看到这个题我们很自然的想到答案是
$\binom{n}{k}*f(n-k)$
其中f（i）表示i个元素的2i个集合中，选出任意多集合使交集为空的方案数，但是一个集合都不选是不合法的
一个暴力算法
显然f（0）=1
设g（i，j）表示从i个元素的集合中，选出任意多集合使交集为k个的方案数
$g(i，j)=\binom{i}{j}*f(i-j)$
对于i>1 $f(i)=2^{2^i}-1-\sum\limits_{j=1}^{i}g(i,j)$
注意不能一个集合都不选，但可以选择集合中没有任何元素的集合来组成一个对集合的集合，这涉及到-1的位置
复杂度O（n2） 期望得分70
正解 容斥原理
$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}*(-1)^i*\binom{n}{i}*(2^{2^{n-i}}-1)$
集合A B C表示交集中含有 a，b，c的集合取法
C（n，i）表示从n个形如A B C的集合中取出i个，算出有多少种取法
这i个集合的交集则表示同时含有这i个元素
后一项则表示其他集合任意选取，但不能一个都不选的方案数
偶加奇减，则得到全集减去这几个集合的并集，得到f（i）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+;
int n,k;
ll js[],jsinv[];
ll qpow(ll base,int y,int mo)
{
ll ans=;
while(y)
{
if(y&) ans=ans*base%mo;
base=base*base%mo;
y>>=;
}
return ans;
}
void init()
{
js[]=;
for(int i=;i<=n;i++) js[i]=js[i-]*i%mod;
jsinv[n]=qpow(js[n],mod-,mod);
for(int i=n-;i>=;i--) jsinv[i]=jsinv[i+]*(i+)%mod;
}
inline ll C(int n,int m)
{
return js[n]*jsinv[m]%mod*jsinv[n-m]%mod;
}
inline ll ask(int m)
{
ll ans=;
for(int i=,u=;i<=m;i++,u=-u)
ans=(ans+u*C(m,i)*(qpow(,qpow(,m-i,mod-),mod)-)%mod)%mod;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
init();
printf("%lld\n",(ask(n-k)*C(n,k)%mod+mod)%mod);
return ;
}
另一种等价的方法
$ans=\binom{n}{k}*\sum\limits_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}*\binom{n-k}{i-k}*(2^{2^{n-i}}-1)$
这种方法可以理解为固定一种组合，从其他集合中选取几个进行容斥
也能算出答案
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+;
int n,k;
ll js[],jsinv[];
ll qpow(ll base,int y,int mo)
{
ll ans=;
while(y)
{
if(y&) ans=ans*base%mo;
base=base*base%mo;
y>>=;
}
return ans;
}
void init()
{
js[]=;
for(int i=;i<=n;i++) js[i]=js[i-]*i%mod;
jsinv[n]=qpow(js[n],mod-,mod);
for(int i=n-;i>=;i--) jsinv[i]=jsinv[i+]*(i+)%mod;
}
inline ll C(int n,int m)
{
return js[n]*jsinv[m]%mod*jsinv[n-m]%mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
init();
ll ans=;
for(int i=k,u=;i<=n;i++,u=-u)
ans=(ans+u*C(n-k,i-k)%mod*(qpow(,qpow(,n-i,mod-),mod)-)%mod)%mod;
printf("%lld\n",(ans*C(n,k)%mod+mod)%mod);
return ;
}