在DNN中，当前输出层的值只和当前输入值有关系。如果当前输出值不仅依赖当前输入值，也依赖于前面时刻的输入值，那么DNN就不适用了。因此也就有了RNN。

一、RNN结构

这是最简单的RNN。其中X_t是t时刻的输入，S是隐藏层。O_t是t时刻的输出。隐藏层S_t是由前t-1个时刻的隐藏层叠加而成的。把S_t也可以理解为前t时刻x的记忆叠加而成的隐藏层。

二、RNN的前向传播

1、记

其中σ_s为激活函数。W是隐藏层S上的权重，如上式所示，作用跟输入一起来迭代S。

2、

其中σ_t为激活函数

o_t为t时刻的输出也是叠加了了t-1之前时刻输入的输出

U为输入层的权重

V为隐藏层到输出层的权重

三、 RNN的反向传播（BPTT，back-propagation through time）

为了学习，假设σ_s为tanh函数，σ_t为softmax函数。

求参的过程还是和大多数学过的模型求参一样，列出损失函数，例如MSE，交叉熵等，然后用最大似然估计求参数形式，再用SGD随机梯度下降求解。

这里面需要求U、W、V。

1、

2、

3、损失函数，在图中，在unfold里面，由于每一点都有一个o，因此每一点都有一个损失。因此总的损失就是每一点损失之和。

4、记

o^h为模型输出值，没有上标h的o为真实值。

5、对V求导

6、对W求导。

（1）

（2）

（3）由于

（4）为了解下计算过程，简单起见，设i=2

以次类推。

7、对U求导

（1）

（2）

8、有了每个参数的梯度，然后利用SGD可以更新参数了。