线性映射的定义与性质

线性映射的定义

数学研究的主题是空间与变换，对于代数学而言，空间指的是赋予了某种运算结构的集合，变换则是空间到空间的映射。线性代数则是研究线性空间及其上的映射。但是，研究的对象不是所有的映射，而是特殊的一类映射，这类映射和线性运算紧密联系，称为线性映射。

定义5.1 $V_1,V_2$V1​,V2​是$K$K的两个线性空间，$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​是$V_1$V1​到$V_2$V2​的映射，如果满足：
$\forall k_1,k_2\in K,\forall x_1,x_2\in V_1$∀k1​,k2​∈K,∀x1​,x2​∈V1​都有
$f(k_1x_1+k_2x_2)=k_1f(x_1)+k_2f(x_2)$f(k1​x1​+k2​x2​)=k1​f(x1​)+k2​f(x2​)则称$f$f是$V_1$V1​到$V_2$V2​(定义在$V_1$V1​，取值于$V_2$V2​)的线性映射

在线性代数中，我们称这类映射为线性映射，在泛函分析中，我们称这类映射为线性算子。

定义5.2 $V$V是$K$K的线性空间，$V$V到$V$V的线性映射称为$V$V上的线性变换

线性变换就是线性空间自己到自己的线性映射，是一类特殊的线性映射。当然，线性映射的例子相当多，就前面的矩阵代数而言
$y=Ax$y=Ax就是就是$K^n$Kn到$K^m$Km的线性映射，平面解析几何和空间解析几何中的伸缩、旋转都是线性映射。另外，$K$K也是$K$K上的线性空间，$V$V到$K$K的线性映射是一个函数，称为线性函数，在泛函分析中称为线性泛函。在有限维线性空间的情形下，要把握一个线性映射其实相当简单。设$V_1$V1​是$n$n维线性空间，$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V_1$V1​的一组基，$V_2$V2​是$m$m维线性空间，$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_m$ε1​,⋯,εm​是$V_2$V2​的一组基。对任意的$x\in V_1$x∈V1​，$x$x可唯一表为
$x=k_1e_1+\cdots+k_ne_n$x=k1​e1​+⋯+kn​en​对任意的线性映射$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​，就有
$f(x)=k_1f(e_1)+\cdots+k_nf(e_n)$f(x)=k1​f(e1​)+⋯+kn​f(en​)也就是说，要把握$f$f的象，只需要把握$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)即可。只要把握了基的象，全空间的象戳手可得，这是线性映射相对于其他映射的良好性质。对于一个映射，我们还关心映射是否是单射，又是否是满射。下面我们来给出判断线性映射是单射还是满射的条件。

线性映射的单射与线性空间的同构

定理5.1 $V_1,V_2$V1​,V2​是$K$K上的线性空间，$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​是线性映射，则$f$f是单射的充要条件是$0$0的原象只能是$0$0

证：
必要性是显然的，仅证充分性，如果$f^{-1}(0)={0}$f−1(0)=0，则若$f(x_1)=f(x_2)$f(x1​)=f(x2​)，就有$f(x_1-x_2)=0$f(x1​−x2​)=0，可以推出
$x_1-x_2=0$x1​−x2​=0因此$f$f是单射

我们注意到，线性映射是否是单射，只与$0$0的原象有关系，我们定义
$\ker(f) = \{x\in V_1:f(x)=0\}$ker(f)={x∈V1​:f(x)=0}容易验证$\ker(f)$ker(f)是$V_1$V1​的子空间，如果$\ker(f)=\{0\}$ker(f)={0}，那么$f$f是单射，否则不是单射。$\ker(f)$ker(f)又称为$f$f的核空间或零空间。我们知道，把握$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)就可以把握线性映射的像，因此，又可以从$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)的线性相关性和线性无关性给出判断单射的条件。

定理5.2 $V_1,V_2$V1​,V2​是$K$K上的线性空间，$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​是线性映射，$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V_1$V1​的一组基，则$f$f是单射的充分必要条件是$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性无关

证：
充分性，如果$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性无关，对任意的$x=x_1e_1+\cdots+x_ne_n$x=x1​e1​+⋯+xn​en​，若满足$f(x)=0$f(x)=0，则
$x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+\cdots+x_nf(e_n)=0$x1​f(e1​)+x2​f(e2​)+⋯+xn​f(en​)=0由$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性无关，可以推出$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$x1​=x2​=⋯=xn​=0，$x=0$x=0，因此，$f$f是单射
必要性，如果$f$f是单射，而$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性相关，存在不全为0的$k_1,\cdots,k_n$k1​,⋯,kn​，使得
$k_1f(e_1)+\cdots+k_nf(e_n)=f(k_1e_1+\cdots+k_ne_n)=0$k1​f(e1​)+⋯+kn​f(en​)=f(k1​e1​+⋯+kn​en​)=0令$x=k_1e_1+\cdots+k_ne_n$x=k1​e1​+⋯+kn​en​，$x\neq 0$x​=0，$\ker(f)\neq \{0\}$ker(f)​={0}，$f$f不是单射，矛盾，因此，$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性无关

如果线性映射$f$f即是单射，又是满射，那么$f$f的逆映射存在。并且，容易验证：$f^{-1}$f−1也是线性映射。设$V_1$V1​的一组基为$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​，由于$f$f是单射，这样，就可以得出结论：$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)线性无关，但$f$f又是满射，任意$y\in V_2$y∈V2​都可以找到原象，从而可以得出结论：$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)是$V_2$V2​的一组基，$f$f在两组基之间搭起一个桥梁，这样，我们可以视$V_1,V_2$V1​,V2​为同一个线性空间，只不过，在$V_1$V1​上，基表现为$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​，在$V_2$V2​上，基表现$f(e_1),\cdots,f(e_n)$f(e1​),⋯,f(en​)，两个线性空间除了元素的形式不同外，没有其他本质的差别，就称$V_1,V_2$V1​,V2​同构。

定义5.3 $V_1,V_2$V1​,V2​是$K$K上的两个线性空间，如果存在$V_1$V1​到$V_2$V2​的线性映射$f$f，$f$f既是单射，又是满射，则称$f$f是$V_1$V1​到$V_2$V2​的同构映射，$V_1$V1​和$V_2$V2​同构

通过前面论述又不难有以下结论：

命题5.1 $V_1,V_2$V1​,V2​是$K$K上的两个有限维线性空间，$V_1,V_2$V1​,V2​同构的充分必要条件为$\dim(V_1)=\dim(V_2)$dim(V1​)=dim(V2​)

证：
必要性前面已经证明，仅证充分性：
设$\dim(V_1)=\dim(V_2)$dim(V1​)=dim(V2​)，要证明$V_1,V_2$V1​,V2​同构，就要构造$V_1$V1​到$V_2$V2​的一个同构映射，设$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V_1$V1​的一组基，$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ε1​,⋯,εn​是$V_2$V2​的一组基，构造映射$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​：
$f(k_1e_1+\cdots+k_ne_n)=k_1\varepsilon_1+\cdots+k_n\varepsilon_n$f(k1​e1​+⋯+kn​en​)=k1​ε1​+⋯+kn​εn​则$f(e_i)=\varepsilon_i,i=1,\cdots,n$f(ei​)=εi​,i=1,⋯,n，并且$f$f是线性映射，并且由构造容易知道$f$f既是单射，又是满射。

于是，任意$K$K上的$n$n维线性空间，都与$K^n$Kn同构，从某种意义上来看，虽然抽象的线性空间十分抽象，不好把握，但是，其实质就是$n$n维向量空间。

线性映射的运算的空间

线性映射也可以作为集合的元素构成线性空间。我们记$V_1\to V_2$V1​→V2​的全体线性映射为$M(V_1,V_2)$M(V1​,V2​)，记$V$V上的线性变换为$M(V)$M(V)。$f_1,f_2\in M(V_1,V_2)$f1​,f2​∈M(V1​,V2​)，定义$f_1+f_2:V_1\to V_2$f1​+f2​:V1​→V2​，对任意的$x\in V_1$x∈V1​：
$(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)$(f1​+f2​)(x)=f1​(x)+f2​(x)对任意的$k\in K$k∈K，定义$kf:V_1\to V_2$kf:V1​→V2​，对任意的$x\in V_1$x∈V1​：
$(kf)(x)=kf(x)$(kf)(x)=kf(x)只需要验证其满足线性空间的八条运算性质即可：
(1)$(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)=f_2(x)+f_1(x)=(f_2+f_1)(x),\forall x\in V_1$(f1​+f2​)(x)=f1​(x)+f2​(x)=f2​(x)+f1​(x)=(f2​+f1​)(x),∀x∈V1​
(2)$(f_1+f_2+f_3)(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=f_1(x)+(f_2(x)+f_3(x))=(f_1+(f_2+f_3))(x)$(f1​+f2​+f3​)(x)=f1​(x)+f2​(x)+f3​(x)=f1​(x)+(f2​(x)+f3​(x))=(f1​+(f2​+f3​))(x)
(3)$0:V_1\to V_2$0:V1​→V2​定义成任意元素都映射为0，$0+f=f$0+f=f
(4)$\forall f \in M(V_1,V_2),-f = (-1).f$∀f∈M(V1​,V2​),−f=(−1).f
其他四条验证是类似的，$M(V_1,V_2)$M(V1​,V2​)构成一个线性空间，自然地，$M(V)$M(V)也是一个线性空间。

$M(V)$M(V)有着一般线性空间没有的运算就是运算的复合，就是运算的乘法。$\forall f_1,f_2\in M(V)$∀f1​,f2​∈M(V)，$f_1f_2$f1​f2​定义为$\forall x \in V$∀x∈V，$(f_1f_2)(x)=f_1(f_2(x))$(f1​f2​)(x)=f1​(f2​(x))，容易验证$f_1f_2$f1​f2​还是$V$V上的线性变换，这样，$M(V)$M(V)上可以定义出多项式。这里我们不再做详细的论述。

线性映射与矩阵

下面我们讨论线性映射和矩阵的关系。假设$f$f是$V_1$V1​到$V_2$V2​的线性映射，其中，$V_1$V1​和$V_2$V2​都是$K$K上的有限维线性空间，$\dim(V_1)=n$dim(V1​)=n，$\dim(V_2)=m$dim(V2​)=m，设$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V_1$V1​的一组基，$b_1,\cdots,b_m$b1​,⋯,bm​是$V_2$V2​的一组基。则
$\begin{cases} f(e_1)=a_{11}b_1+\cdots+a_{1m}b_m\\ f(e_2)=a_{21}b_1+\cdots+a_{2m}b_m\\ \cdots\\ f(e_n)=a_{n1}b_1+\cdots+a_{nm}b_m \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​f(e1​)=a11​b1​+⋯+a1m​bm​f(e2​)=a21​b1​+⋯+a2m​bm​⋯f(en​)=an1​b1​+⋯+anm​bm​​可以看到，以上方程式就类似于线性方程组，我们也写成形式矩阵乘法的形式：
$f(e_1,\cdots,e_n)=(b_1,\cdots,b_m)A$f(e1​,⋯,en​)=(b1​,⋯,bm​)A其中矩阵
$A=\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \cdots\\ a_{1m}&a_{2m}&\cdots&a_{nm} \end{matrix}\right]$A=⎣⎢⎢⎡​a11​a12​⋯a1m​​a21​a22​a2m​​⋯⋯⋯​an1​an2​anm​​⎦⎥⎥⎤​当然也可以写成转置的形式，这里不再赘述。$A$A就称为$f$f在基$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​到$b_1,\cdots,b_m$b1​,⋯,bm​下的矩阵。如果$f$f是$V$V上的线性变换，$\dim(V)=n<\infty$dim(V)=n<∞，任取$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​为$V$V的一组基，则
$\begin{cases} f(e_1)=a_{11}e_1+a_{12}e_2+\cdots+a_{1n}e_n\\ f(e_2)=a_{21}e_1+a_{22}e_2+\cdots+a_{2n}e_n\\ \cdots\\ f(e_n)=a_{n1}e_1+a_{n2}e_2+\cdots+a_{nn}e_n \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​f(e1​)=a11​e1​+a12​e2​+⋯+a1n​en​f(e2​)=a21​e1​+a22​e2​+⋯+a2n​en​⋯f(en​)=an1​e1​+an2​e2​+⋯+ann​en​​写成形式矩阵的形式即为
$f(e_1,\cdots,e_n)=(e_1,\cdots,e_n)A$f(e1​,⋯,en​)=(e1​,⋯,en​)A
其中
$A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \cdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right]$A=⎣⎢⎢⎡​a11​a12​⋯a1n​​a21​a22​a2n​​⋯⋯⋯​an1​an2​ann​​⎦⎥⎥⎤​$A$A就称为线性变换$f$f在$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​下的矩阵。对线性映射，我们需要两组基确定一个矩阵，但对线性变换，只需要一组基就可以确定一个矩阵。对线性映射$f:V_1\to V_2$f:V1​→V2​，对于确定的两组基，就可以确定一个唯一的矩阵，反过来，给定两组基，给定一个矩阵，可以构造出一个线性映射，对于线性变换亦是如此，这就说明，线性映射空间$M(V_1,V_2)$M(V1​,V2​)和相应的矩阵空间是一一对应的，并且还是线性同构的，容易验证：$\alpha_1f_1+\alpha_2f_2$α1​f1​+α2​f2​在两组基下的矩阵等于各自在这两组基下矩阵的线性组合，说明$M(V_1,V_2)$M(V1​,V2​)到矩阵空间的这一一对一映射还是线性映射。为了说明这点，我们简单验证一点性质即可
$f,g$f,g是$V_1$V1​到$V_2$V2​的线性映射，$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V_1$V1​的一组基，$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_m$ε1​,⋯,εm​是$V_2$V2​的一组基，$f$f在$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​到$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_m$ε1​,⋯,εm​的矩阵是$A$A，而$g$g在两组基下的矩阵是$B$B,则$\alpha f+\beta g$αf+βg在这两组基下的矩阵为$\alpha A+\beta B$αA+βB。
假设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$A=(aij​),B=(bij​)，则
$f(e_j)=\sum_{i=1}^m{a_{ij}\varepsilon_i}\quad j=1,\cdots,n$f(ej​)=i=1∑m​aij​εi​j=1,⋯,n同样地
$g(e_j)=\sum_{i=1}^m{b_{ij}\varepsilon_i}\quad j=1,\cdots,n$g(ej​)=i=1∑m​bij​εi​j=1,⋯,n于是，就有
$(\alpha f+\beta g)(e_j)= \sum_{i=1}^m{(\alpha a_{ij}+\beta b_{ij})\varepsilon_i}\quad j=1,\cdots,n$(αf+βg)(ej​)=i=1∑m​(αaij​+βbij​)εi​j=1,⋯,n这就验证了$\alpha f+\beta g$αf+βg在两组基下的矩阵为$\alpha A+\beta B$αA+βB。同样地，$M(V)$M(V)和$M_n(K)$Mn​(K)是线性同构的。据此，我们可以提出如下的观点，在线性代数领域：
矩阵是线性映射的矩阵

矩阵和线性映射的关系可以总结为：
(1)矩阵是线性映射的矩阵，是线性映射的具体表现
(2)矩阵为线性映射的相关计算提供了手段
不仅如此，还容易验证，线性映射复合的矩阵就等于矩阵的乘法。这样，我们就把抽象的线性空间上的线性映射和具体的矩阵联系在了一起。矩阵运算都有了相应的意义。

接下来的一个问题是：对于同一个线性变换$f\in M(V)$f∈M(V)，其中，$\dim(V)=n$dim(V)=n，选择不同的基，线性变换的在不同基下的矩阵有何关系呢？在引出线性映射的矩阵时，我们给出了一种形式矩阵的运算。我们先给出形式矩阵运算的一个基本性质。
$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V$V的一个向量组，$A$A是一个$n$n阶矩阵，$B$B也是一个$n$n阶矩阵，则
$[(e_1,\cdots,e_n)A]B=(e_1,\cdots,e_n)(AB)$[(e1​,⋯,en​)A]B=(e1​,⋯,en​)(AB)其中$A$A是$n\times m$n×m矩阵，$B$B是$m\times k$m×k矩阵，只需要作简单的验证即可。设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$A=(aij​),B=(bij​)，则\
令$(\beta_1,\cdots,\beta_m)=(e_1,\cdots,e_n)A$(β1​,⋯,βm​)=(e1​,⋯,en​)A，则
$\beta_i=\sum_{j=1}^n{a_{ij}e_j}\quad i=1,\cdots,m$βi​=j=1∑n​aij​ej​i=1,⋯,m再设$(\gamma_1,\cdots,\gamma_k)=(\beta_1,\cdots,\beta_m)B$(γ1​,⋯,γk​)=(β1​,⋯,βm​)B，于是
$\gamma_i=\sum_{s=1}^m{b_{si}\beta_s}= \sum_{s=1}^mb_{si}(\sum_{j=1}^na_{js}e_j) =\sum_{j=1}^n\sum_{s=1}^m{(a_{js}b_{si})e_j}$γi​=s=1∑m​bsi​βs​=s=1∑m​bsi​(j=1∑n​ajs​ej​)=j=1∑n​s=1∑m​(ajs​bsi​)ej​其中$i=1,\cdots,k$i=1,⋯,k，这就验证了
$(\gamma_1,\cdots,\gamma_k)=(e_1,\cdots,e_n)(AB)$(γ1​,⋯,γk​)=(e1​,⋯,en​)(AB)假设线性变换$f$f在基$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​下的矩阵为$A$A，就有
$(f(e_1),\cdots,f(e_n))=(e_1,\cdots,e_n)A$(f(e1​),⋯,f(en​))=(e1​,⋯,en​)A再假设$\beta_1,\cdots,\beta_n$β1​,⋯,βn​是$V$V的另一组基，设
$(\beta_1,\cdots,\beta_n)P=(e_1,\cdots,e_n)$(β1​,⋯,βn​)P=(e1​,⋯,en​)同时
$(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(e_1,\cdots,e_n)Q$(β1​,⋯,βn​)=(e1​,⋯,en​)Q于是
$(e_1,\cdots,e_n)(PQ)=(e_1,\cdots,e_n)$(e1​,⋯,en​)(PQ)=(e1​,⋯,en​)由于$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​是$V$V的一组基，并且坐标具有唯一性，就有
$QP=I_n$QP=In​因此$P$P可逆，并且有
$f(e_1,\cdots,e_n)=f(\beta_1,\cdots,\beta_n)P =(e_1,\cdots,e_n)A=(\beta_1,\cdots,\beta_n)(PA)$f(e1​,⋯,en​)=f(β1​,⋯,βn​)P=(e1​,⋯,en​)A=(β1​,⋯,βn​)(PA)两边同右乘$P^{-1}$P−1，就有
$f(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_n)(PAP^{-1})$f(β1​,⋯,βn​)=(β1​,⋯,βn​)(PAP−1)实际上，$P$P是$(\beta_1,\cdots,\beta_n)$(β1​,⋯,βn​)到$(e_1,\cdots,e_n)$(e1​,⋯,en​)的过渡矩阵，或称基变换矩阵，$P^{-1}$P−1是\$(e_1,\cdots,e_n)$(e1​,⋯,en​)到$(\beta_1,\cdots,\beta_n)$(β1​,⋯,βn​)的过渡矩阵。$f$f在$\beta_1,\cdots,\beta_n$β1​,⋯,βn​下的矩阵为
$B=PAP^{-1}$B=PAP−1下面我们定义$n$n阶方阵的相似关系：

定义5.4 $A,B$A,B是数域$K$K下的$n$n阶方阵，如果存在$n$n阶可逆方阵$P$P，使得$B=PAP^{-1}$B=PAP−1则称$A$A和$B$B是相似矩阵

由上面的论述，同一线性变换在不同基下的矩阵是相似关系。并且容易验证：相似关系满足自反性，对称性和传递性，是一个等价关系，这样，我们就可以利用相似关系将$n$n阶矩阵划分成若干个等价类。在同一等价类内，不同矩阵对应不同的一组基，自然地，我们就像寻找等价类内一组"最好"的基，使得$f$f在这组基下的矩阵"最简单"，最好简单到对角矩阵。这就是特征值和特征向量要研究的问题。

线性变换的特征值与特征向量

特征值问题的引入

前面我们讲过，线性变换在不同基下的矩阵是相似的关系，这就启发我们去寻找一组"最好"的基，使线性变换在这组基下的矩阵"最简单"，最简单的矩阵莫过于对角矩阵。即
$f(e_1,\cdots,e_n)=(e_1,\cdots,e_n)D$f(e1​,⋯,en​)=(e1​,⋯,en​)D$(e_1,\cdots,e_n)$(e1​,⋯,en​)是$V$V的一组基，$D=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$D=diag(λ1​,⋯,λn​)。于是
$f(e_i)=\lambda_i e_i \quad i=1,\cdots,n$f(ei​)=λi​ei​i=1,⋯,n线性变换$f$f只是将$e_i$ei​进行了伸缩变换，对任意的$x=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$x=a1​e1​+⋯+an​en​，于是
$f(x)=\sum_{i=1}^n{a_i\lambda_i e_i}$f(x)=i=1∑n​ai​λi​ei​我们发现，在这组基下，线性变换变得"异常简单"。接下来线性代数的中心问题，就是寻找一组基，矩阵"最简单"，本章讲述矩阵是对角阵的情形，在最后两章，我们讲述不能对角化的情况下，最简单的矩阵，即"约当标准型"。

定义5.5 $V$V是$K$K上的$n$n维线性空间，$f$f是$V$V上的线性变换，如果存在$\lambda\in K$λ∈K及非零向量$e\in V$e∈V，满足：
$f(e)=\lambda e$f(e)=λe则称$\lambda$λ是$f$f的特征值，$e$e是$\lambda$λ对应的特征向量

如果有$n$n个线性无关的特征向量，那么自然就可以对角化，否则就不能对角化。那么，怎么寻找$n$n个线性无关的特征向量呢？我们先任取一组基$(e_1,\cdots,e_n)$(e1​,⋯,en​)，设$f$f在这组基下的矩阵为$A=(a_{ij})$A=(aij​)，设$x=x_1e_1+\cdots+x_ne_n$x=x1​e1​+⋯+xn​en​是$\lambda$λ的特征向量。则
$f(x) =(e_1,\cdots,e_n)A(x_1,\cdots,x_n)^T=(e_1,\cdots,e_n)\lambda(x_1,\cdots,x_n)^T$f(x)=(e1​,⋯,en​)A(x1​,⋯,xn​)T=(e1​,⋯,en​)λ(x1​,⋯,xn​)T于是得到方程组
$Ax=\lambda x$Ax=λx这里的$x$x是$n$n维列向量$(x_1,\cdots,x_n)^T$(x1​,⋯,xn​)T，这个方程组由非零解等价于行列式
$\det(A-\lambda I_n)=0$det(A−λIn​)=0而这个行列式是关于$\lambda$λ的$n$n次多项式，并且，并且，如果$B$B和$A$A相似，存在可逆矩阵$P$P，使得$B=PAP^{-1}$B=PAP−1，由行列式的性质，就有
$\det(B-I_n)=\det(P(A-\lambda I_n)P^{-1})=\det(A-\lambda I_n)$det(B−In​)=det(P(A−λIn​)P−1)=det(A−λIn​)可见特征多项式和基的选取无关，因而，特征多项式既可以称为是线性变换的特征多项式，又可以称为是矩阵的特征多项式。特征值既可以称为是线性变换的特征值，又可以称为是矩阵的特征值。并且方程组$(A-\lambda I_n)x=0$(A−λIn​)x=0求解出来的$n$n维向量是特征向量对应的坐标，这样我们就得到了特征向量和特征值的计算方法。下面我们引入特征空间的概念，对于$\lambda\in K$λ∈K，称
$V_{\lambda}=\{x:f(x)=\lambda x\}$Vλ​={x:f(x)=λx}为$\lambda$λ对应的特征空间，容易验证特征空间是子空间，如果$\lambda$λ不是特征值，特征空间是零空间，如果是特征值，特征空间非零，就有重数，称为$\lambda$λ的几何重数。

可对角化的充要条件

什么情况下$f$f可对角化呢，很显然

定理5.4 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，$f$f可对角化的充要条件是存在$n$n个线性无关的特征向量。

假设线性变换的特征多项式为$h(\lambda)$h(λ)，由于$h$h是$n$n次多项式，由代数基本定理，$h$h有$n$n个复根。特征值与否当然要看数域，在复数域上一定有$n$n个特征值(含重根)，更小的数域则不一定。实线性空间上的线性变换的就不一定有$n$n个特征值。

命题5.2 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​是$f$f对应不同特征值的特征向量，则$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​线性无关

证：
设$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​对应的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$λ1​,⋯,λs​。设$x_1e_1+\cdots+x_se_s=0$x1​e1​+⋯+xs​es​=0两边用$f$f作用
$x_1\lambda_1e_1+\cdots+x_s\lambda_se_s=0$x1​λ1​e1​+⋯+xs​λs​es​=0用数学归纳法对$s$s进行归纳，$s=1$s=1时，结论显然成立。
假设$s=k$s=k时结论成立，$s=k+1$s=k+1时，第一个向量等式两边乘以$\lambda_1$λ1​，两个向量等式相减，就可以证得结论。
由数学归纳法，结论成立。

推论5.1 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​是$s$s个不同的数$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$λ1​,⋯,λs​特征空间中的向量，如果
$e_1+e_2+\cdots+e_s=0$e1​+e2​+⋯+es​=0则$e_1=\cdots=e_s=0$e1​=⋯=es​=0

证：
如果$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​不全为0，那么，至少有两个向量不为0。
不妨设至少$e_1,e_2$e1​,e2​全不为0，两边用$f$f作用，有
$\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_se_s=0$λ1​e1​+⋯+λs​es​=0而$\lambda_1,\lambda_2$λ1​,λ2​不全为0，与$e_1,\cdots,e_s$e1​,⋯,es​中非零向量线性无关矛盾。

命题5.3 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$λ1​,⋯,λs​是$f$f的$s$s个全部不同的特征值，则$f$f可对角化的充要条件是各特征值几何重数的和为$n$n

证：
$\lambda_i(i=1,\cdots,s)$λi​(i=1,⋯,s)特征子空间的一组基$e_{ij},j=1,\cdots,n_i$eij​,j=1,⋯,ni​，令
$\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^{n_i}{k_{ij}e_{ij}}=0$i=1∑s​j=1∑ni​​kij​eij​=0与上面的推论，有
$\sum_{j=1}^{n_i}{k_{ij}e_{ij}}=0,i=1,\cdots,s$j=1∑ni​​kij​eij​=0,i=1,⋯,s于是$k_{ij}=0,i=1,\cdots,s,j=1,\cdots,n_i$kij​=0,i=1,⋯,s,j=1,⋯,ni​，于是$f$f可对角化

我们已经指出，全部特征值由特征多项式$\det(A-\lambda I_n)=0$det(A−λIn​)=0计算得到。特征根在多项式中的重数称为代数重数。

命题5.4 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，$\lambda_0$λ0​是$f$f的特征值，则其几何重数不超过其代数重数

证：
设$\lambda_0$λ0​的特征空间的几何重数为$r$r，设其中一组基为$e_1,\cdots,e_r$e1​,⋯,er​，将其扩张为$V$V的一组基$e_1,\cdots,e_n$e1​,⋯,en​，则$f$f在这组基下的矩阵为
$\left[\begin{matrix} \lambda_0 I_r&A\\ 0&B\\ \end{matrix}\right]$[λ0​Ir​0​AB​]于是，由分块矩阵行列式计算性质，$f$f的特征多项式为
$(\lambda_0-\lambda)^r\det(B-\lambda I_{n-r})=0$(λ0​−λ)rdet(B−λIn−r​)=0而$\lambda_0$λ0​还可能是$\det(B-\lambda I_{n-r})=0$det(B−λIn−r​)=0的根

这说明了，$f$f可对角化，要满足两点：
(1)$f$f的特征多项式的根都在数域$K$K内
(2)$f$f的所有特征值的代数重数都等于几何重数
同时，每个特征值的特征空间的维度至少为1，因此，就有如下的命题：

命题5.5 $f$f是$K$K上$n$n维线性空间$V$V上的线性变换，如果$f$f有$n$n个不同的特征值，则$f$f可对角化