OUTLINE
- 前言
- VRPTW description
- column generation
- Illustration
- code
- reference
00 前言
此前向大家介绍了列生成算法的详细过程，以及下料问题的代码。相信各位小伙伴对column generation已经有了一个透彻的了解了。今天我们在来一点干货，用column generation求解vehicle routing problems。
01 VRPTW description
关于VRPTW问题的描述，以及建模方式，可以参照此文干货|十分钟快速掌握CPLEX求解VRPTW数学模型（附JAVA代码及CPLEX安装流程）。不过今天给大家带来的是VRPTW的另外一个建模方式，它是在传统的模型上利用了Dantzig-Wolfe decomposition分解算法得到的。
关于Dantzig-Wolfe decomposition分解算法，可以参照文章：
Formulation：[1]
- $\Omega $ ：the set of feasible vehicle routes, i.e., the set of paths in G issued from the
depot, going to the depot, satisfying capacity and time window constraints and visiting
at most once each customer. - \(c_k\) ：the cost of route \(r_k \in \Omega\).
- $ a_{ik}$ ：= 1 if route\(r_k\)visits customer\(v_i\) and = 0 otherwise.
- $ b_{ijk}$ ：= 1 if route\(r_k\)uses arc\((v_i,v_j)\)and = 0 otherwise.
The VRPTW can be described with the following set covering model:
where \(θ_k\) indicates whether route \(r_k\) is selected (\(θ_k\) = 1) or not (\(θ_k\) = 0) in the solution.其中\(v_0\)是depot点。
其中：
- 约束1保证了每个Customer都至少被服务一次。
- 约束2限制了车辆的使用数量。
- $\theta_k \(定义为整数，但显然当\)\theta_k > 1$时解都不是最优的。这样做的目的是为了后续使用column generation时获得一个更好的线性松弛。
02 column generation
从上面的模型中，先来讨论一个点，用\(S(\Omega)\)表示集合\(\Omega\)里面的路径数量，n表示Customer的点数，那么
\(S(\Omega)\)和n的关系可以看下表：
| \(S(\Omega)\) | n |
|---|---|
| 10 | \((A_{10}^2+A_{10}^3+A_{10}^4+...+A_{10}^{10})/2\) |
| 20 | \((A_{20}^2+A_{20}^3+A_{20}^4+...+A_{20}^{20})/2\) |
| ... | ... |
| 100 | \((A_{100}^2+A_{100}^3+A_{100}^4+...+A_{100}^{100})/2\) |
可以看出，变量\(\theta\)的数目随着问题规模n的增长会爆炸式的增长。这时候，显然branch and bound这类的算法已经无能为力了，因为变量数目太多太多，搜索树会有多少个分支想都不敢想。
所以，我们上一节课讲的column generation就派上用场辣。如果相关概念还不清楚的就赶紧回去翻一翻上一次课的内容吧。
2.1 Master Problem(MP)
我们知道，column generation是求解linear program的，因为上面的model是一个整数规划模型，还不能直接挪过来当Master Problem。
在此之前，我们需要将\(\theta_k \in N\)给线性松弛一下变成\(\theta_k >= 0\)。这下\(\theta_k\)就从整数变量松弛为线性变量了。由此我们可以得出问题的Master Problem如下：
2.2 Restricted Master Problem(RMP)
在上述模型中，约束5中的列直观表现为一条可行的路径\(r_k\)，现在要Restricted一下我们的Master Problem，直接Restricted Master Problem中的 \(\Omega\)即可。我们设\(\Omega_1 \subset \Omega\)，那么Restricted Master Problem可以表示为：
然后我们再顺便把RMP的对偶model也写出来，便于后续对偶变量的求解：
在对偶模型中：
- \(\lambda_i\)是非负的对偶变量，对应着约束(9)。
- \(\lambda_0\)是非负的对偶变量，对应着约束(10)。
2.3 Subproblem
子问题要做的就是找一条路\(r_k \in \Omega \setminus \Omega_1\)使得，
其中，\(r_k\)受到的约束：
- 从depot出发，最终回到depot。
- 满足容量和时间窗的约束。
03 Illustration
在这一节我们将会给大家带来一个简单的VRPTW实例，详细演示一下column generation求解VRPTW的过程。大家可以再次熟悉一下column generation的原理。
假如我们有以下的一个very simple的VRPTW问题：
其中：
- 边上数字表示路径的距离。
- 点上的区间表示时间窗。
- 为了更加简化问题，我们假设车的容量足够大（总是能容量约束），车的数量足够多（总是能满足数量约束）。
Start
一开始我们很容易找到一个初始的路径集合$\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0) } $。
服务所有的Customer。所以得到的Restricted Master Problem和Dual programs如下：
Iteration 1
RMP ( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0) } $ )：
很容易求得上述模型的最优解为\(\theta = (1,1,1), \lambda = (2,2.8,2)\)。
现在假如subproblem通过启发式或者什么方法找到了一条路径$ r_4 = (v_0,v_1,v_2,v_0)\(，路径\)r_4\(的reduce cost 为3.4-2-2.8 = -1.4 < 0。现在将\)r_4\(加入到\)\Omega_1 $中，开始下一轮迭代。
Iteration 2
RMP ( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0), (v_0,v_1,v_2,v_0)} $ )：
Again，很容易求得上述模型的最优解为\(\theta = (0,0,1,1), \lambda = (2,1.4,2)\)。
subproblem找到了一条路径$ r_5 = (v_0,v_1,v_2,v_3,v_0)\(，路径\)r_5\(的reduce cost 为4-2-1.4-2 = -1.4 < 0。现在将\)r_5\(加入到\)\Omega_1 $中，开始下一轮迭代。
Iteration 3
RMP( $\Omega_1 = {(v_0,v_1,v_0),(v_0,v_2,v_0),(v_0,v_3,v_0), (v_0,v_1,v_2,v_0),(v_0,v_1,v_2,v_3,v_0)} $ )：
求解得到最优解为\(\theta = (0,0,0,0,1), \lambda = (2,1.4,0.6)\)。
现在我们可以easily发现，还剩下两条route不在\(\Omega_1\)之中了。而这两条route的reduce cost都非负，列生成算法停止。并且在这个例子中，linear relaxation的解是integer optimal solution。
至此，列生成算法求解VRPTW的过程结束，相信这么详细的过程大家已经看懂了。
04 code
关于列生成算法求解VRPTW的算法将会在下一期呈现，大家可以先把这两期的内容好好消化了先。请关注我们的公众号以获取最新的消息，在第一时间获取代码：
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05 reference
-[1]A tutorial on column generation and branch-and-price for vehicle routing problems, Dominique Feillet