BZOJ3675 [Apio2014]序列分割【斜率优化dp】

2023-02-22 15:16:39

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3

4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

经观察发现，当分割点确定后，分割的顺序对结果没有影响。

就比如a,b,c割两次

bc + a(b + c) = ab + ac + bc

ab + c(a + b) = ab + ac + bc

所以我们可以设f[k][i]表示第k次割第i个位置的最大价值

有f[k][i] = max{f[k - 1][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1]};【s[i]为后缀和】

划为斜截式就是 -s[i + 1] * s[j + 1] + f[k][i] = f[k - 1][j]

使截距最大，维护凸包

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define eps 1e-9

#define LL long long int

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)

#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)

using namespace std;

const int maxn = 100005,maxm = 105,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1;char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

LL n = 0,N,K,A[maxn],B[maxn],s[maxn],f[2][maxn],q[maxn],head,tail,p = 1,now = 0;

inline double slope(int u,int v){

	return (double)(f[p][u] - f[p][v]) / (s[u + 1] - s[v + 1]);

}

int main()

{

	//freopen("in.txt","r",stdin);

	//freopen("out1.txt","w",stdout);

	N = read(); K = read();

	REP(i,N) A[i] = read();

	REP(i,N) if (A[i]) B[++n] = A[i];

	for (int i = n; i > 0; i--) s[i] = s[i + 1] + B[i];

	for (int k = 1; k <= K; k++,p ^= 1,now ^= 1){

		q[head = tail = 0] = 0;

		for (int i = 1; i <= n; i++){

			while (head < tail && slope(q[head],q[head + 1]) < -s[i + 1] + eps) head++;

			int j = q[head];

			//cout<<j<<' ';

			f[now][i] = f[p][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1];

			while (head < tail && slope(q[tail],q[tail - 1]) > slope(i,q[tail]) + eps) tail--;

			q[++tail] = i;

		}

		//REP(i,n) cout<<f[now][i]<<' ';cout<<endl;

	}

	LL ans = 0;

	REP(i,n) ans = max(ans,f[p][i]);

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}

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