BZOJ_3675_[Apio2014]序列分割_斜率优化
Description
Input
输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。
Output
输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
HINT
【样例说明】
在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：
1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。
首先能够证明分割时顺序不影响答案。
设两个分割点i，j。左端点为k，右端点为l。
那么先切i再切j的答案就是(s[l]-s[i])*(s[i]-s[k-1])+(s[l]-s[j])*(s[j]-s[i])
先切j再切i的答案就是(s[l]-s[j])*(s[j]-s[k-1])+(s[j]-s[i])*(s[i]-s[k-1])
展开后发现是相等的。
设F[i][j]表示前j个数分割i次的最高得分。
考虑从右往左切，但从左往右DP F[i][j]=max(F[i][j],F[i-1][k]+s[k]*(s[j]-s[k]))
然后推出斜率式子s[j]>(F[i][k]-s[k]*s[k]-F[i][l]+s[l]*s[l])/(s[l]-s[k])
但是这个式子当s[l]=s[k]时会出现除0操作，然后发现0对这个序列没有影响。
于是预处理把所有的零踢掉即可。
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef double f2;
typedef long long ll;
#define N 100050
int n,k;
int a[N],Q[N];
ll f[2][N],s[N];
f2 slope(int i,int p,int l) {
return (1.0*f[i&1][p]-s[p]*s[p]-f[i&1][l]+s[l]*s[l])/(s[l]-s[p]);
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&k);
int i,j,l,ln=0;
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i]) {
a[++ln]=a[i];
s[ln]=s[ln-1]+a[ln];
}
}
n=ln;
//for(i=1;i<=n;i++) f[1][i]=s[i]*(s[n]-s[i]);
/*for(i=2;i<=k;i++) {
for(j=1;j<=n;j++) {
for(l=0;l<j;l++) {
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][l]+(s[j]-s[l])*(s[n]-s[j]));
}
}
}*/
for(i=1;i<=k;i++) {
int L=1,R=0;
for(j=1;j<=n;j++) {
while(L<R&&slope(i-1,Q[L],Q[L+1])<s[j]) L++;
l=Q[L];
f[i&1][j]=f[i-1&1][l]+(s[j]-s[l])*s[l];
while(L<R&&slope(i-1,Q[R],j)<slope(i-1,Q[R],Q[R-1])) R--;
Q[++R]=j;
}
}
printf("%lld\n",f[k&1][n]);
}