一：背景
给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
- s="abcd"，最长回文长度为 1；
- s="ababa"，最长回文长度为 5；
- s="abccb"，最长回文长度为 4，即bccb。
以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为O(n^2)，效率很差。
1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。
二：算法过程分析
由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。
举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。
定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s_new[i] | $ | # | a | # | b | # | b | # | a | # | h | # | o | # | p | # | x | # | p | # |
| p[i] | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 |
可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。
接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：
设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。
假设我们现在求p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果i < mx，如上图，那么：
if (i < mx)
p[i] = min(p[ * id - i], mx - i);
2 * id - i为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用p[j]来加快查找。
三：代码
//指定位置判断回文，此题为指定包含最后一个的最长回文序列。
char ma[maxn*], s[maxn];
int mp[maxn*];
int ans,Mlen;
void Manacher(char s[],int len)
{
int l=;
ma[l++]='$';
ma[l++]='#';
for(int i=; i<len; i++)
{
ma[l++]=s[i];
ma[l++]='#';
}
ma[l]=;
int mx=,id=;
for(int i=; i<l; i++)
{
mp[i]=mx>i?min(mp[*id-i],mx-i):;
while(ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])
mp[i]++;
if(i+mp[i]>mx)
{
mx=i+mp[i];
id=i;
}
// 这里可以check(ma[i])
ans=max(ans,mp[i]-);
if(mp[i]-+i==l-)
Mlen=max(Mlen,mp[i]-);
}
} int main()
{
int T;
cin>>T;
int kcase = ;
while(T--)
{
memset(ma,,sizeof(ma));
memset(mp,,sizeof(mp));
cin>>s;
int len=strlen(s);
ans=;
Mlen=;
Manacher(s,len);
if(ans == len)
printf("Case %d: %d\n", kcase++, ans);
else
printf("Case %d: %d\n", kcase++, len - Mlen + len);
}
}
四：题目
这个题目就是在原来的基础上添加了一个判断条件，看清楚在哪里添加。
//101350I - 2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest - Mirrored String II
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=;
char ma[maxn*];
int mp[maxn*];
char s[maxn];
int check(char zzz)
{
if(zzz=='A'||zzz=='H'||zzz=='I'||zzz=='M'||zzz=='O'||zzz=='#'||
zzz=='T'||zzz=='U'||zzz=='V'||zzz=='W'||zzz=='X'||zzz=='Y')
return ;
return ;
} void Manacher(char s[],int len)
{
int l=;
ma[l++]='$';
ma[l++]='#';
for(int i=; i<len; i++)
{
ma[l++]=s[i];
ma[l++]='#';
}
ma[l]=;
int mx=,id=;
for(int i=; i<l; i++)
{
mp[i]=mx>i?min(mp[*id-i],mx-i):;
while(check(ma[i+mp[i]])&&ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])//在这里添加check
{
mp[i]++;
}
if(i+mp[i]>mx)
{
mx=i+mp[i];
id=i;
}
}
} int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>s;
int len=strlen(s);
Manacher(s,len);
int ans=;
for(int i=; i<len*+; i++)
if(check(ma[i]))//这里添加check
ans=max(ans,mp[i]-);
cout<<ans<<endl;
}
}