1.Introduction

采用mit linear algebra的线性代数课程结构，对线性代数进行复习和总结。

2.线性方程的图像表达

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y & = & 0 \\ -x + 2y & = & 3 \\ \end{aligned} \right. \tag{2.1}${2x−y−x+2y​==​03​(2.1)

2.1row space

（x,y）可以看成是直线1：2x-y=0；直线2：-x+2y=3的交点

2.2column space

从向量的角度出发，向量1 (2, -1) 和向量2 (-1, 2)通过线性组合，叠加处了（0,3）

2.3延伸

row space 本质是求交点，只有方程有解了才能知道交点在那，作用有限。
column space 的思想是用基向量取表示column space中的一个特殊向量，
如果把基向量写成矩阵形式：
$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \tag{2.2}$[2−1​−12​][xy​]=[03​](2.2)
这也是线性代数第一部分重点，
$Ax=b \tag{2.3}$Ax=b(2.3)

2.4思考

对于方程（2.3），有几个解？解是多少？

3.矩阵运算

3.1introduction

既然已经引入了矩阵，当然要总结一下矩阵背后的几何意义，根据几何意义取理解矩阵的常见运算。

3.2矩阵变换的几何意义

推荐观看3Blue1Brown的线性代数视频。向量$\vec{x}$x在坐标系中的坐标是由基底决定的，换言之，坐标系由基底决定。矩阵变换看成是对基底进行变换，然后再线性组合。
$\vec{w}=x\hat{i}+y\hat{j}$w=xi^+yj^​

3.2.1 这种变换是线性变换

方程（2.2）是采取系数矩阵和变量相乘的形式，所以方程（2.2）是典型的线性方程。对应的矩阵变换也是线性变换。满足
$\left\{ \begin{aligned} T(v1+v2) & = T(v1) + T(v2) & \\ T(cv) & = cT(v)& \\ \end{aligned} \right. \tag{3.1}${T(v1+v2)T(cv)​=T(v1)+T(v2)=cT(v)​​(3.1)
这种特点在几何上，则是$T(\vec{0})还是\vec{0}$T(0)还是0，原坐标系上的直线变换后也还是直线（直线上的点投影后还是均匀分布）

3.3 计算

3.3.1 Ax=b

• matrix(A) * column(v) = column(w)
  从矩阵变换的几何意义，x是向量v在变换后坐标系$(\hat{i}, \hat{j})$(i^,j^​)中的坐标，b则是其在变换前坐标系（i, j）中的坐标。
  $\color{red}{w中的element是如何计算得到的？}$w中的element是如何计算得到的？
  观察方程（2.2），$w_i=Arowi*v$wi​=Arowi∗v
• row(v) * matrix(A) = row(w)
  和上一例相似，也可以看成是$w=v_1*a_{row1}+v_2*a_{row2}+...+v_n*a_{rown}$w=v1​∗arow1​+v2​∗arow2​+...+vn​∗arown​

3.3.2 AB=C

可以看成B={b1, b2, …, bn}, AB=A{b1, b2, … , bn}={c1, c2, …, cn}=C.
将B看成是向量的叠加，矩阵相乘中的每个变量都可以求得了。

3.3.3 $\alpha A$αA

对于向量$\alpha\vec{v}$αv,可以看成向量中的每个元素都乘以$\alpha$α,矩阵可以看成是向量的叠加，所以也是所有变量都要乘以$\alpha$α。

3.3.4 运算注意事项

矩阵乘法没有交换律，因为矩阵变换是对基向量的操作，所以变换顺序，改变很大；
矩阵乘法有结合律，AB=C，先进行B变换再进行A变换和直接C变换的效果是等同的。

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